А что будет, если мы в левой части будем суммировать не по Z, а по L*Z? Тогда, как несложно видеть, появится множитель (1/L) в правой части, а сумма там будет не по Z, а по (1/L)*Z — по тем частотам, которые укладываются на фактор-окружность длины L:

Наконец, а что будет, если взять функцию не на прямой, а в пространстве, и суммировать её по решётке? Тогда в правой части в знаменателе будет кообъём решётки, а сумма там будет по двойственной решётке тех частот, с которыми может "звучать" тор-фактор:

Как раз, если мы захотим устроить ряд Фурье на торе R^n/Λ, то условием, чтобы экспонента
\exp(2πi * <u,x>)
на нём была определена (то есть не менялась при сдвигах на Λ, и будет, что u принадлежит двойственной к Λ решётке).

Вот. Ну и — формула Пуассона замечательная как сама по себе, так и своими применениями.
(По этой дороге я сейчас не пойду, но функциональное уравнение для дзета-функции Римана — которое связывает \zeta(s) с \zeta(1-s) — тоже вытаскивается отсюда, и это простая и короткая история.)

Давайте теперь вернёмся к вопросу плотности упаковок — и попробуем посмотреть, а как, хотя бы в принципе, можно было бы их оценивать? Вот хоть как-нибудь — учитывая, что пространство всех упаковок бесконечно-мерное (по n координат на каждый центр); и даже если ограничиться только решётками — работать в 8*8=64-мерном пространстве всех решёток вряд ли вызовет энтузиазм в исследовании функции на экстремум обычными методами...

Так вот — есть такая замечательная теорема. Её доказали одновременно Горбачёв и Кон и Элкис:

И это — такая "машина" по производству верхних оценок на плотности.

Нашли удачную функцию f — получили оценку. Нашли другую — получили оценку получше. Лишь бы условия на эту функцию выполнялись, а дальше — конвеер.

И доказывается она удивительно несложно. Давайте для начала посмотрим на случай упаковок решётками: пусть есть какая-то упаковка Λ с минимальным расстоянием не меньше 1; мы хотим оценить её плотность.

Применим к f формулу суммирования Пуассона — просуммировав её по этой решётке. И кусочки паззла как раз и сложатся.

В левой части стоит сумма f по решётке, где есть единственное положительное слагаемое, f(0). Потому что все остальные вектора решётки имеют длину не меньше 1 — а там f <= 0 по условию. Так что левая часть не больше f(0).

В правой части стоит произведение как раз искомой плотности — 1/covol Λ — на сумму уже, наоборот, неотрицательных слагаемых. Поэтому эта сумма не меньше, чем просто слагаемое в 0.

Вот паззл и сложился — вот так получается оценка на плотность любой решётки!
А удивительным образом, общий случай делается техникой очень похожей на решёточный. Достаточно взять большой-большой куб, в котором плотность будет близка к предельной, и повторить то, что мы видим внутри него, периодичным образом. Получается упаковка, которая есть объединение конечного числа сдвигов одной и той же решётки. И очень похожей техникой (просуммировать f по всем векторам разностей — как раз на этом воспользовавшись, что они все не короче 1) и получается дословно та же оценка.

Собственно, до доказательства оптимальности E_8 осталось совсем чуть-чуть.
Первый шаг простой: если есть пара из решётки Λ и функции f, для которых все неравенства в доказательстве обращаются в равенства — то верхняя оценка для Λ тоже обращается в равенство, и значит, Λ и есть наилучшая возможная упаковка (раз её плотность оценивает сверху любую другую).

Так что если бы найти такую функцию f(r), которая не просто удовлетворяет условиям теоремы Горбачёва-Кона-Элкиса, а ещё и обращается в ноль на длинах её ненулевых векторов, а её преобразование Фурье (только как сферически-симметричной многомерной, а не как одномерной функции) — на длинах векторов двойственной решётки, то мы бы победили.

А E_8 — решётка очень хорошая. Мы знаем её квадраты длин векторов — это все чётные числа, а двойственная решётка с ней просто совпадает. Так, может быть, случится чудо и такая функция найдётся?

Так вот — Марина Вязовска в своей работе 2016 года такую функцию явно предъявила! (Как преобразование Лапласа от некоторой модулярной формы )