А от чего это преобразование Фурье? (Раз у нас чётные функции — можно спросить вместо этого, кто у него преобразование Фурье?)

Если бы был просто sin^2(πx), то это была бы линейная комбинация экспонент exp(-2πix), 1, exp(2πix); соответственно, преобразование Фурье давало бы дельта-функции в точках -1,0,1 (с правильными коэффициентами).
Деление на x^2 соответствует двукратному интегрированию; одно интегрирование превращает дельта-функцию в скачок, второе делает из него скачок производной.

Вот и получается, что исходная функция f должна быть вот такой:

И она и впрямь удовлетворяет условиям — неположительна за радиусом 1 и обращается в ноль в целых точках (собственно, она при |x|>=1 вообще в тождественный ноль обратилась).

Ура!

Мы доказали, что Z — плотнейшая упаковка на прямой. :)

Давайте немного продолжим про множества Жюлиа и Мандельброта. Вот мы в прошлый раз закончили на том, почему множество Мандельброта так определяют: потому что именно для таких параметров c (заполненное) множество Жюлиа отображения z^2+c будет связным — а не "канторовой пылью".

А чем вообще хорошо множество Жюлиа — и почему каждый раз я к нему добавляю слово "заполненное"?

Давайте опять посмотрим на самый простой пример, c=0, когда итерируемое отображение это просто возведение в квадрат, z->z^2.

Что происходит при его итерациях? Точки с |z|>1 убегают на бесконечность, точки с |z|<1 падают в 0, а единичная окружность |z|=1 сохраняется — и на ней возведение в квадрат действует, удваивая аргумент
φ->2φ.

А удвоение угла на единичной окружности — это самый классический пример хаотической динамики — при которой малейшая ошибка в определении начального положения через небольшое число итераций приводит к полной невозможности что-либо сказать о положении образа.
(Скажем, если мы знали начальную точку с точностью 10^{-9} — то какие-нибудь 30 итераций и всё, её образ уже может быть где угодно.)

Так вот — правильное определение (не-заполненного) множества Жюлиа, которое можно применять не только к полиномиальным, но и к рациональным отображениям, такое: это множество точек, где динамика хаотична.

Если говорить более аккуратно: во-первых, давайте превратим комплексную плоскость в сферу Римана, добавив к ней бесконечность (можно представлять себе картинку стереографической проекции).

(Картинка опять из Dimensions — на этот раз из главы про расслоение Хопфа)

И говоря о том, близко точки или далеко, будем иметь в виду расстояние на сфере — то есть 1000 и 10000 не очень-очень далеко, а напротив, очень близко друг к другу — и к бесконечности.

И скажем, что у точки z_0 орбита неустойчива по Ляпунову, если для некоторого ε>0 сколь угодно близко к z_0 есть точки, образы которых когда-нибудь удаляются (на сфере Римана) от образов z хотя бы на ε.
Ну и если это записать совсем формально, то получится

Так вот — множество Жюлиа это множество точек, орбиты которых неустойчивы по Ляпунову.