Давайте немного продолжим про множества Жюлиа и Мандельброта. Вот мы в прошлый раз закончили на том, почему множество Мандельброта так определяют: потому что именно для таких параметров c (заполненное) множество Жюлиа отображения z^2+c будет связным — а не "канторовой пылью".

А чем вообще хорошо множество Жюлиа — и почему каждый раз я к нему добавляю слово "заполненное"?

Давайте опять посмотрим на самый простой пример, c=0, когда итерируемое отображение это просто возведение в квадрат, z->z^2.

Что происходит при его итерациях? Точки с |z|>1 убегают на бесконечность, точки с |z|<1 падают в 0, а единичная окружность |z|=1 сохраняется — и на ней возведение в квадрат действует, удваивая аргумент
φ->2φ.

А удвоение угла на единичной окружности — это самый классический пример хаотической динамики — при которой малейшая ошибка в определении начального положения через небольшое число итераций приводит к полной невозможности что-либо сказать о положении образа.
(Скажем, если мы знали начальную точку с точностью 10^{-9} — то какие-нибудь 30 итераций и всё, её образ уже может быть где угодно.)

Так вот — правильное определение (не-заполненного) множества Жюлиа, которое можно применять не только к полиномиальным, но и к рациональным отображениям, такое: это множество точек, где динамика хаотична.

Если говорить более аккуратно: во-первых, давайте превратим комплексную плоскость в сферу Римана, добавив к ней бесконечность (можно представлять себе картинку стереографической проекции).

(Картинка опять из Dimensions — на этот раз из главы про расслоение Хопфа)

И говоря о том, близко точки или далеко, будем иметь в виду расстояние на сфере — то есть 1000 и 10000 не очень-очень далеко, а напротив, очень близко друг к другу — и к бесконечности.

И скажем, что у точки z_0 орбита неустойчива по Ляпунову, если для некоторого ε>0 сколь угодно близко к z_0 есть точки, образы которых когда-нибудь удаляются (на сфере Римана) от образов z хотя бы на ε.
Ну и если это записать совсем формально, то получится

Так вот — множество Жюлиа это множество точек, орбиты которых неустойчивы по Ляпунову.

И в случае полиномиального отображения, как оказывается (но что неочевидно), это — как раз граница заполненного множества Жюлиа. И наоборот, заполненное множество Жюлиа это просто множество Жюлиа плюс всё, что оно ограничивает.

То, что граница заполненного множества Жюлиа будет состоять только из точек с неустойчивой орбитой, понять легко — действительно, это точки, образы которых остаются ограниченными, но сколь угодно близко к которым (по определению границы — пересечение замыканий множества и дополнения) есть точки, на бесконечность убегающие. Вот и неустойчивость.

Вот вложение в другую сторону неочевидно. На самом деле, верно даже более сильное утверждение: множество Жюлиа является границей области притяжения любой притягивающей орбиты:

(Это — кусочек из замечательной книги Дж. Милнора, "Голоморфная динамика", которую я очень рекомендую).

Так что, если срочно нужно привести пример трёх (четырёх, пяти, ...) открытых множеств на плоскости с совпадающей границей, то можно сделать так. Взять отображение, у которого сколько нужно притягивающих орбит — например, взяв полиномиальное отображение
z-> z- 0.000001 (z-1)(z-2)...(z-5)
(неподвижные точки z=1,3 и 5 будут притягивающими — производная в них будет чуть меньше 1),
или, скажем, применив метод Ньютона к нахождению корней многочлена нужной степени (правда, тут получится уже рациональное отображение).

И взяв бассейны притяжения этих притягивающих орбит — границей каждого из этих бассейнов притяжения будет (одно и то же!) множество Жюлиа.

Правда, если привести такой пример на экзамене, то могут попросить доказать все предыдущие утверждения... Но красиво ведь!

(Да, на всякий случай — примеры проще есть, и они строятся совсем "руками")