Это — три бассейна притяжения для метода Ньютона, применённого к кубическому многочлену; картинку я взял из статьи Дирка Шляйхера "Complex Dynamics, the Mandelbrot Set, and Newton’s Method — or: On Useless and Useful Mathematics" из сборника "An Invitation to Mathematics".

А вот (из его же статьи с R. Stoll-ом — https://arxiv.org/pdf/1508.02935.pdf ) — картинка для областей притяжения у корней многочлена 12-й степени:

Кстати — комплексно-дифференцируемое отображение (по определению) "под большим увеличением" рядом с точкой похоже на свою линейную часть в этой точке (по крайней мере, когда производная не обращается в ноль). А умножение на комплексное число это поворотная гомотетия.

а) (оффтопик, но раз уж подвернулась возможность) Именно это — что производная это умножение на комплексное число — и говорится в условиях Коши-Римана — что нужно добавить к вещественной дифференцируемости, чтобы получилась комплексная.
б) (почти не оффтопик) именно поэтому там, где производная не обращается в ноль, комплексно-дифференцируемые функции конформны: у маленькой-маленькой фигуры они могут изменить размер, но почти не искажают форму

Вот, кстати, иллюстрация из всё того же фильма Dimensions (https://youtu.be/bY4DS1RwwAE?t=306 ), где авторы взяли фотографию замечательного математика Адриана Дуади — и применили к ней рациональную функцию:

Видно, что хоть глобально картинка и исказилась —рука и стала больше головы — у каждого маленького кусочка пропорции не поменялись (если закрыть всё, кроме руки, или всё, кроме головы, то они по отдельности выглядят вполне нормально — а не, скажем, вытянутыми в два раза в какую-нибудь сторону).

Так вот — а то, к чему я всё это упоминал, это
в) а что будет происходить рядом с точкой множества Жюлиа?

(Допустим, для полиномиального отображения, чтобы было проще).

Да, пока я не забыл это проговорить — множество Жюлиа сохраняется отображением, причём как взятием образа, так и взятием полного прообраза. Потому что если у двух точек орбиты совпадают, начиная с какого-то места, то у них и устойчивость одинаковая.
(И я тут замёл под ковёр, что под действием комплексно-дифференцируемой непостоянной функции образ открытого множества открыт: в отличие от вещественной ситуации, когда у отображения x^2 образ рядом с нулём покрывает только половину окрестности, в комплексном случае первый ненулевой член a*z^n ряда Тейлора всё равно даст все возможные направления-аргументы и закроет окрестность, а следующие ему не помешают.)

Множество Жюлиа замкнуто (что, вообще-то, надо доказывать, но мы в это поверим) — а его дополнение, которое называется множеством Фату, соответственно, открыто (и тоже инвариантно как под действием образа, так и при взятии полного прообраза).

Мы знаем, что у самой этой точки орбита остаётся ограниченной — но сколь угодно близко есть точки, убегающие далеко (для полиномиального отображения — на бесконечность). Если было бы можно вольно обращаться с пределами, то мы могли бы сказать, что производная стремится к бесконечности, и поэтому маленькие окрестности будут становиться всё больше и больше. И если к этому добавить инвариантность множества Жюлиа — то его часть, заключённая в такой (сколь угодно маленькой) окрестности, должна расползтись до чего-то макроскопического — и глядя на наш исходный пример с удвоением окружности, можно предположить, что до всего множества Жюлиа.

Про производную, на самом деле, неправда — критическая точка (где уже производная f, а тем самым и всех итераций f^n, обращается в ноль) может множеству Жюлиа принадлежать. А вот заключение про "расползание" правильное — и я опять процитирую книгу Милнора:

И вот объяснение самоподобия множества Жюлиа — действительно его малые окрестности динамика растягивает на его всего, и можно надеяться, с не слишком сильным искажением формы (ибо конформность, хотя я опять жульничаю с порядком пределов).

Давайте теперь вернёмся к множеству Мандельброта и с того, с чего я вообще начинал этот рассказ — с анимации о поведении на границе главной кардиоиды. И для начала поймём, что вообще это за кардиоида такая.

Вот, собственно, она изображена — на кадре из видео "Times Tables, Mandelbrot and the Heart of Mathematics" (https://youtu.be/qhbuKbxJsk8?t=273 ) :

Так вот — как это ни смешно, мы пока что знаем только одну точку из множества Мандельброта, точку c=0 (просто потому, что про другие мы не задумывались). И там z=0 это суперпритягивающая точка: все близкие точки к ней стремятся, причём с суперэкспоненциальной скоростью (потому что расстояние до неё не делится, скажем, пополам или даже на 10, а возводится в квадрат). И, в частности, не убегает на бесконечность.

А что будет, если мы возьмём какое-нибудь близкое c?