И в случае полиномиального отображения, как оказывается (но что неочевидно), это — как раз граница заполненного множества Жюлиа. И наоборот, заполненное множество Жюлиа это просто множество Жюлиа плюс всё, что оно ограничивает.

То, что граница заполненного множества Жюлиа будет состоять только из точек с неустойчивой орбитой, понять легко — действительно, это точки, образы которых остаются ограниченными, но сколь угодно близко к которым (по определению границы — пересечение замыканий множества и дополнения) есть точки, на бесконечность убегающие. Вот и неустойчивость.

Вот вложение в другую сторону неочевидно. На самом деле, верно даже более сильное утверждение: множество Жюлиа является границей области притяжения любой притягивающей орбиты:

(Это — кусочек из замечательной книги Дж. Милнора, "Голоморфная динамика", которую я очень рекомендую).

Так что, если срочно нужно привести пример трёх (четырёх, пяти, ...) открытых множеств на плоскости с совпадающей границей, то можно сделать так. Взять отображение, у которого сколько нужно притягивающих орбит — например, взяв полиномиальное отображение
z-> z- 0.000001 (z-1)(z-2)...(z-5)
(неподвижные точки z=1,3 и 5 будут притягивающими — производная в них будет чуть меньше 1),
или, скажем, применив метод Ньютона к нахождению корней многочлена нужной степени (правда, тут получится уже рациональное отображение).

И взяв бассейны притяжения этих притягивающих орбит — границей каждого из этих бассейнов притяжения будет (одно и то же!) множество Жюлиа.

Правда, если привести такой пример на экзамене, то могут попросить доказать все предыдущие утверждения... Но красиво ведь!

(Да, на всякий случай — примеры проще есть, и они строятся совсем "руками")

Это — три бассейна притяжения для метода Ньютона, применённого к кубическому многочлену; картинку я взял из статьи Дирка Шляйхера "Complex Dynamics, the Mandelbrot Set, and Newton’s Method — or: On Useless and Useful Mathematics" из сборника "An Invitation to Mathematics".

А вот (из его же статьи с R. Stoll-ом — https://arxiv.org/pdf/1508.02935.pdf ) — картинка для областей притяжения у корней многочлена 12-й степени:

Кстати — комплексно-дифференцируемое отображение (по определению) "под большим увеличением" рядом с точкой похоже на свою линейную часть в этой точке (по крайней мере, когда производная не обращается в ноль). А умножение на комплексное число это поворотная гомотетия.

а) (оффтопик, но раз уж подвернулась возможность) Именно это — что производная это умножение на комплексное число — и говорится в условиях Коши-Римана — что нужно добавить к вещественной дифференцируемости, чтобы получилась комплексная.
б) (почти не оффтопик) именно поэтому там, где производная не обращается в ноль, комплексно-дифференцируемые функции конформны: у маленькой-маленькой фигуры они могут изменить размер, но почти не искажают форму

Вот, кстати, иллюстрация из всё того же фильма Dimensions (https://youtu.be/bY4DS1RwwAE?t=306 ), где авторы взяли фотографию замечательного математика Адриана Дуади — и применили к ней рациональную функцию:

Видно, что хоть глобально картинка и исказилась —рука и стала больше головы — у каждого маленького кусочка пропорции не поменялись (если закрыть всё, кроме руки, или всё, кроме головы, то они по отдельности выглядят вполне нормально — а не, скажем, вытянутыми в два раза в какую-нибудь сторону).

Так вот — а то, к чему я всё это упоминал, это
в) а что будет происходить рядом с точкой множества Жюлиа?

(Допустим, для полиномиального отображения, чтобы было проще).

Да, пока я не забыл это проговорить — множество Жюлиа сохраняется отображением, причём как взятием образа, так и взятием полного прообраза. Потому что если у двух точек орбиты совпадают, начиная с какого-то места, то у них и устойчивость одинаковая.
(И я тут замёл под ковёр, что под действием комплексно-дифференцируемой непостоянной функции образ открытого множества открыт: в отличие от вещественной ситуации, когда у отображения x^2 образ рядом с нулём покрывает только половину окрестности, в комплексном случае первый ненулевой член a*z^n ряда Тейлора всё равно даст все возможные направления-аргументы и закроет окрестность, а следующие ему не помешают.)

Множество Жюлиа замкнуто (что, вообще-то, надо доказывать, но мы в это поверим) — а его дополнение, которое называется множеством Фату, соответственно, открыто (и тоже инвариантно как под действием образа, так и при взятии полного прообраза).

Мы знаем, что у самой этой точки орбита остаётся ограниченной — но сколь угодно близко есть точки, убегающие далеко (для полиномиального отображения — на бесконечность). Если было бы можно вольно обращаться с пределами, то мы могли бы сказать, что производная стремится к бесконечности, и поэтому маленькие окрестности будут становиться всё больше и больше. И если к этому добавить инвариантность множества Жюлиа — то его часть, заключённая в такой (сколь угодно маленькой) окрестности, должна расползтись до чего-то макроскопического — и глядя на наш исходный пример с удвоением окружности, можно предположить, что до всего множества Жюлиа.

Про производную, на самом деле, неправда — критическая точка (где уже производная f, а тем самым и всех итераций f^n, обращается в ноль) может множеству Жюлиа принадлежать. А вот заключение про "расползание" правильное — и я опять процитирую книгу Милнора: