Поэтому корень из пи — штука странная. Гораздо лучше возвести этот интеграл в квадрат:
После чего увидеть, что правая часть инвариантна относительно поворотов — и вот она, _окружность_ направлений!
Переход в полярные координаты, или (на школьно/физическом уровне строгости) нарезание плоскости на кольца
r^2 <= x^2+y^2 < (r+dr)^2 )
легко довершит дело — и я оставлю тут это как упражнение.
r^2 <= x^2+y^2 < (r+dr)^2 )
легко довершит дело — и я оставлю тут это как упражнение.
Но на самом деле мы на этом пути получили больше: то, что мы только что проделали, называется предельной теоремой Муавра-Лапласа, простейшим частным случаем предельной теоремы.
Хорошая анимированная иллюстрация к тому, что мы увидели —
Вообще, центральная предельная теорема утверждает вот что. Пусть если мы рассматриваем сумму большого числа "разумных" (не слишком "больших"), более-менее сравнимых и независимых случайных слагаемых (например, считая количество орлов за десять тысяч подбрасываний монетки).
У такой суммы будет какое-то среднее значение; и будут отклонения от него.
Среднее значение на то и среднее, чтобы в среднем отклонения "в плюс" и "в минус" были одинаковы. Но можно посмотреть на среднеквадратичное отклонение (на дисперсию, для тех, кому знакомо это слово).
Так вот, давайте отклонение от среднего перемасштабируем — поделив его на его среднее квадратичное. (Каковое, при одинаково распределённых слагаемых, растёт как корень из n — что мы, собственно, и наблюдали в нашем случае.)
Центральная предельная теорема утверждает, что — что бы мы ни складывали исходно, в пределе получится одно и то же, _универсальное_, распределение: гауссовское, или нормальное, распределение.
Так вот — мы сейчас увидели, что для случая подбрасывания монетки шанс, что отношение k/sqrt{n} попадёт в какой-то интервал [a,b], можно приблизить как интегральную сумму Римана — которая, в свою очередь, стремится к интегралу:
То есть в пределе тут мы видим распределение, у которого есть "линейная плотность"
1/\sqrt{\pi} * e^{-x^2}.
1/\sqrt{\pi} * e^{-x^2}.
Правда, мы делили отклонение на корень из n, а если посмотреть чуть аккуратнее, то средний квадрат отклонения равен n/2, соответственно, чтобы получить совсем предел "как в ЦПТ", делить надо было на \sqrt{n/2}.
Если распределение выше в корень из двух раз растянуть — получится распределение с плотностью
И именно сходимость к распределению с такой плотностью и утверждает центральная предельная теорема.