Тут мы взяли 21 точку — а вот что будет, если взять 200:

И довольно несложно понять, почему это так: если мы соединяем точку z с точкой z^2 (а это и есть умножение на 2), то два таких очень близких отрезка пересекутся, разделившись в отношении 1:2 — таком же, как то, насколько смещаются z и z^2. И тогда точка такого пересечения будет
(1/3) z+ (2/3) z^2 = (1/3) (z+ z^2/2)

И это и есть уже знакомый нам вид — а огибающая и есть кривая, которую заметают такие "точки пересечений при бесконечно малом смещении".

Да — ещё кардиоида получается как каустика в конической "кофейной чашке", если одна из образующих конуса смотрит на Солнце:

(фото Gérard Janot отсюда — https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Caustique.jpg )

Зато, если взять отражение от цилиндрического стакана, то получается половина нефроиды — кривой, которую можно увидеть либо через "таблицу умножения на 3", либо при внешнем качении по окружности другой, вдвое меньшей её:

(фото — Д. Миронов, М. Панов)

И проверить это совершенно несложно: собственно, вот соответствующая картинка —

Видно, что если точка первого отражения параллельного пучка отстоит от точки его касания со стаканом на α, то придёт отражённый луч в точку 3α — а огибающая таких отражённых лучей и будет (видимой глазом) каустикой.

Ну и на этом на сегодня я прекращаю дозволенные речи — а в следующий раз собираюсь всё-таки проговорить, что же именно мы при движении вдоль кардиоиды видим.

Давайте я немного поговорю о том, что происходит рядом с главной кардиоидой. И начну с точки (1/4): "уголка" кардиоиды, где у отображения
z-> z^2 + (1/4)
есть параболическая неподвижная точка z_0=(1/2), производная в которой равна 1 — по линейным членам нет ни притяжения, ни отталкивания.

Если увеличить рядом с ней множество Мандельброта, то мы увидим много-много его как-бы-копий; таких же, как мы видим во многих других местах. И это пока, вроде бы, совершенно непонятно (оно же множество параметров, почему его кусочки на него похожи?!) — но к этому мы перейдём чуть позже.

Само множество Мандельброта —

И увеличение рядом с c=1/4 :

Так вот — давайте сначала посмотрим, что происходит ровно в точке (1/4). Если перенести неподвижную точку z_0=1/2 в начало координат, сделав замену w=z-z_0, то отображение примет вид
w-> w+w^2
(потому что должно получиться нечто квадратичное, без свободного члена, потому что 0 неподвижная точка, с линейным коэффициентом 1, потому что это производная в неподвижной точке, и со старшим коэффициентом 1, потому что так и было, а замена это параллельный перенос).