И окрестность соответствующего параметра в множестве Мандельброта:

Давайте теперь вернёмся к нашему c=1/4 — и посмотрим, что происходит, когда мы двигаем c по вещественной прямой.

Нам пока будет удобно использовать всё ту же координату w=z-1/2. В ней мы итерируем отображение
w->w+w^2+ε,
где ε=с-1/4.

Когда ε<0, у этого отображения две неподвижные точки, плюс и минус корень из (-ε); левая из них притягивающая, правая отталкивающая. При ε=0 они сливаются в одну параболическую, и при ε>0 уходят в комплексную область.

Конечно, это означает, что при (вещественном) ε>0 мы не находимся в множестве Жюлиа — но это хороший момент, чтобы показать один важный эффект. Чем ближе ε к нулю, тем больше итераций нужно, чтобы "проскочить" от отрицательных w в положительные. Казалось бы, эффект такого может быть сколь угодно сильным. Но — давайте я покажу один слайд из доклада Mitsuhiro Shishikura,
https://www.math.univ-toulouse.fr/adrien2008/Slides/Shishikura.pdf :

То есть — когда мы проходим слева направо, картинка "на выходе" (кривой верблюд справа) действительно получается искажённой. Но — искажение пропорций на ней равномерно ограничено — сколь бы малым ε ни был (хоть число итераций становится всё большим и большим).

Грубо говоря, причина в том, что хоть композиция получается и очень длинной — большую часть времени она применяется к очень маленькому верблюду. А чем меньше картинка — тем меньше добавляемое за один шаг искажение пропорций. Собственно, дифференцируемое отображение на то и дифференцируемое, чтобы под увеличением быть похожим на линейное — и потому почти не искажать пропорции на маленькой картинке; мы, кстати, это уже обсуждали на примере отображения, применяемого к фотографии Адриана Дуади.

Так что суммарное искажение (если его аккуратно проконтролировать) остаётся равномерно ограниченным — и это частный случай очень часто применяемой (и очень мощной) техники контроля искажения .

Если же мы поднимемся от положительных ε на кардиоиду — то одна из неподвижных точек, вместо того, чтобы отталкивать, начнёт просто "закручивать" (модуль производной в ней станет равен 1 — собственно, так главная кардиода и определяется) — а другая продолжит закручивать и отталкивать. И очень естественно, что множество Жюлиа тоже получится "с закручиванием":

+увеличенная картинка вокруг нижней, отталкивающей+закручивающей, неподвижной точки:

Давайте теперь перейдём к самой левой точке кардиоиды, c=-3/4, для которой неподвижной будет точка z_0=-1/2 с производной (-1). И, опять же, посмотрим, что там происходит.

Как и раньше — посмотрим сначала, что происходит рядом с самой точкой z_0, работая в координате w=z-z_0.
Вообще — это хороший момент, чтобы сказать, что для квадратичных отображений есть разные естественные параметризации. Можно смотреть на отображение
z->z^2+c,
взяв за начало координат точку, где производная обращается в 0 (и попросив, чтобы z^2 было с коэффициентом 1).
Можно вместо этого сдвинуть начало координат в неподвижную точку; получится отображение
w->λw+w^2.
Правда, поскольку неподвижных точек две, одной точке c соответствуют два разных λ. Зато обратно пересчитывать очень просто — и мы это уже делали, когда находили кардиоиду: точка с производной λ в c-координате это z=λ/2, и чтобы она была неподвижной для z->z^2+c, нужно взять
c=λ/2 - (λ/2)^2.

Наконец, можно сделать в координате w линейную замену — и вместо отображения
w->λw+w^2
получить отображение с любым другим коэффициентом при w.

Например, попросить, чтобы он равнялся (-λ) — или, что то же самое, принести в 1 второй прообраз неподвижной точки 0. И тогда получается логистическое отображение
w-> λw(1-w).

И есть картинка, которую всегда с логистическим отображением рисуют — где по оси абсцисс возможные значения λ, а по оси ординат — предельный режим, на который она выходит: