Так что суммарное искажение (если его аккуратно проконтролировать) остаётся равномерно ограниченным — и это частный случай очень часто применяемой (и очень мощной) техники контроля искажения .

Если же мы поднимемся от положительных ε на кардиоиду — то одна из неподвижных точек, вместо того, чтобы отталкивать, начнёт просто "закручивать" (модуль производной в ней станет равен 1 — собственно, так главная кардиода и определяется) — а другая продолжит закручивать и отталкивать. И очень естественно, что множество Жюлиа тоже получится "с закручиванием":

+увеличенная картинка вокруг нижней, отталкивающей+закручивающей, неподвижной точки:

Давайте теперь перейдём к самой левой точке кардиоиды, c=-3/4, для которой неподвижной будет точка z_0=-1/2 с производной (-1). И, опять же, посмотрим, что там происходит.

Как и раньше — посмотрим сначала, что происходит рядом с самой точкой z_0, работая в координате w=z-z_0.
Вообще — это хороший момент, чтобы сказать, что для квадратичных отображений есть разные естественные параметризации. Можно смотреть на отображение
z->z^2+c,
взяв за начало координат точку, где производная обращается в 0 (и попросив, чтобы z^2 было с коэффициентом 1).
Можно вместо этого сдвинуть начало координат в неподвижную точку; получится отображение
w->λw+w^2.
Правда, поскольку неподвижных точек две, одной точке c соответствуют два разных λ. Зато обратно пересчитывать очень просто — и мы это уже делали, когда находили кардиоиду: точка с производной λ в c-координате это z=λ/2, и чтобы она была неподвижной для z->z^2+c, нужно взять
c=λ/2 - (λ/2)^2.

Наконец, можно сделать в координате w линейную замену — и вместо отображения
w->λw+w^2
получить отображение с любым другим коэффициентом при w.

Например, попросить, чтобы он равнялся (-λ) — или, что то же самое, принести в 1 второй прообраз неподвижной точки 0. И тогда получается логистическое отображение
w-> λw(1-w).

И есть картинка, которую всегда с логистическим отображением рисуют — где по оси абсцисс возможные значения λ, а по оси ординат — предельный режим, на который она выходит:

Так вот — эта картинка обязана быть связанной с множеством Мандельброта, раз одно отображение из другого получается заменой координат. И действительно:

(изображение отсюда — https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Verhulst-Mandelbrot-Bifurcation.jpg )

Так вот, давайте поймём, что же происходит. Будем работать с отображением
w-> λw+w^2;
для него c=-3/4 соответствует λ=-1, то есть мы итерируем
w-> -w+w^2,
и хотим понять, что будет происходить рядом с его неподвижной точкой w=0.

Для начала возведём это отображение в квадрат — применим его два раза:

Если раскрыть скобки, то -(-w)=w, квадратичные члены сократятся, и останется
w-> w -2w^3 +w^4.

То есть на вещественной прямой рядом с неподвижной точкой w=0 точки к ней приближаются — потому что w^3 того же знака, и вычитается.

А как вообще ведут себя рядом с w=0 итерации отображения
w->w + a w^n + ... ?
(Наш случай — n=3 и a=-2)

Как и раньше, приблизим итерации отображения
w->w+a w^n+...
траекториями движения вдоль векторного поля
w'=a w^n
(выкинув из векторного поля все старшие члены).