Так вот — то, что мы увидели, называется бифуркацией удвоения периода: при переходе мультипликатора ("производной в") неподвижной точки через (-1) она теряет устойчивость — и из неё рождается периодическая орбита вдвое большего периода.
Вот линии, которые этому соответствуют на диаграмме предельных режимов логистического отображения: сначала мы видим притягивающую неподвижную точку —
А когда её мультипликатор пересекает (-1) — притягивающую орбиту периода 2:
(Чтобы не запутаться: для логистического отображения
x->λx(1-x)
параметр λ это производная в 0 (коэффициент воспроизводства, когда кроликов/рыбок/... мало, и они друг другу не мешают) — а (-1) пересекает мультипликатор в другой неподвижной точке,
x_0=1-1/λ. )
x->λx(1-x)
параметр λ это производная в 0 (коэффициент воспроизводства, когда кроликов/рыбок/... мало, и они друг другу не мешают) — а (-1) пересекает мультипликатор в другой неподвижной точке,
x_0=1-1/λ. )
Так вот — на самом деле, мы только что поняли, что происходит, когда λ для отображения
w-> λw+w^2
пересекает значение (-1) — или, что то же самое, параметр c для
z->z^2+c
пересекает c=-3/4. А именно — рождается новая притягивающая периодическая орбита!
w-> λw+w^2
пересекает значение (-1) — или, что то же самое, параметр c для
z->z^2+c
пересекает c=-3/4. А именно — рождается новая притягивающая периодическая орбита!
Математические байки
А в нашем случае P(z)=z^2+c критическая точка вообще лишь одна, это точка z=0. Значит, если есть притягивающая орбита — она притянет к себе орбиту z=0. В частности, образы z=0 не убегают на бесконечность — и это по определению и значит, что c из множества…
Но мы уже знаем, что это гарантирует попадание с в множество Мандельброта (или потому, что образы 0 будут этой орбитой притянуты, или потому, что заполненное множество Жюлиа содержит бассейн притяжения — и тем самым гарантировано не канторово).
И вот та область параметров c, где есть притягивающая периодическая орбита периода 2 — это касающаяся главной кардиоиды в точке с=-3/4 гиперболическая компонента множества Мандельброта.
(На всякий случай, это не связная компонента — множество Мандельброта связно!)
(На всякий случай, это не связная компонента — множество Мандельброта связно!)
Да — давайте, прежде, чем идти дальше в комплексной динамике, я скажу пару слов из теории динамических систем/бифуркаций.
Во-первых, аналогичный сценарий бывает с дифференциальными уравнениями, и там называется бифуркацией Андронова-Хопфа:
Во-первых, аналогичный сценарий бывает с дифференциальными уравнениями, и там называется бифуркацией Андронова-Хопфа:
- шло время, параметры системы менялись, и в некоторый момент пара комплексно-сопряжённых собственных значений пересекла мнимую ось:
Далёкие точки всё ещё к неподвижной точке притягивались. Но близкие после этого пересечения начали от неё убегать:
И, собственно, если мы проведём через неподвижную точку прямую (например, горизонтальную) и посмотрим на отображение Пуанкаре (отображение первого возвращения), то мы увидим, что это совсем одна и та же картина: у отображения первого возвращения как раз мультипликатор переходит через (-1).