(Чтобы не запутаться: для логистического отображения
x->λx(1-x)
параметр λ это производная в 0 (коэффициент воспроизводства, когда кроликов/рыбок/... мало, и они друг другу не мешают) — а (-1) пересекает мультипликатор в другой неподвижной точке,
x_0=1-1/λ. )

Так вот — на самом деле, мы только что поняли, что происходит, когда λ для отображения
w-> λw+w^2
пересекает значение (-1) — или, что то же самое, параметр c для
z->z^2+c
пересекает c=-3/4. А именно — рождается новая притягивающая периодическая орбита!

Но мы уже знаем, что это гарантирует попадание с в множество Мандельброта (или потому, что образы 0 будут этой орбитой притянуты, или потому, что заполненное множество Жюлиа содержит бассейн притяжения — и тем самым гарантировано не канторово).

И вот та область параметров c, где есть притягивающая периодическая орбита периода 2 — это касающаяся главной кардиоиды в точке с=-3/4 гиперболическая компонента множества Мандельброта.
(На всякий случай, это не связная компонента — множество Мандельброта связно!)

Вот она —

Да — давайте, прежде, чем идти дальше в комплексной динамике, я скажу пару слов из теории динамических систем/бифуркаций.
Во-первых, аналогичный сценарий бывает с дифференциальными уравнениями, и там называется бифуркацией Андронова-Хопфа:

- жила-была неподвижная точка — притягивающий фокус:

- шло время, параметры системы менялись, и в некоторый момент пара комплексно-сопряжённых собственных значений пересекла мнимую ось:

Далёкие точки всё ещё к неподвижной точке притягивались. Но близкие после этого пересечения начали от неё убегать:

"Значит", родился притягивающий предельный цикл:

И, собственно, если мы проведём через неподвижную точку прямую (например, горизонтальную) и посмотрим на отображение Пуанкаре (отображение первого возвращения), то мы увидим, что это совсем одна и та же картина: у отображения первого возвращения как раз мультипликатор переходит через (-1).

Во-вторых, такой сценарий — потеря устойчивости при переходе пары сопряжённых собственных значений через мнимую ось — появляется в физике как флаттер.
Кстати, про флаттер — вот этот ролик minutephysics про разрушение Такомского моста ( https://youtu.be/6ai2QFxStxo?t=61 ) мне очень нравится; и — если вы не видели само его падение, я тоже очень советую посмотреть (вот тут одноминутный ролик — https://youtu.be/XggxeuFDaDU?t=19 — и вид огромной конструкции, ходящей ходуном, внушает).

В-третьих: сценарий, который мы видели, это на самом деле только один из двух вариантов, мягкая потеря устойчивости (для Андронова-Хопфа — суперкритическая бифуркация). Мы посмотрели на квадрат нашего отображения в момент бифуркации, когда мультипликатор пересекал (-1), и коэффициент при w^3 был отрицательным. И в этом сценарии мы из просто неподвижной точки перешли в режим "малых биений" — притягивающей стала (близкая) периодическая орбита периода 2 (или предельный цикл для дифференциального уравнения).

Но коэффициент мог получиться и положительным (скажем, возьмём отображение w->-w+w^2-10w^3). И тогда мы видим, что в момент бифуркации точка уже глобально неустойчива — все близкие точки от неё будут "далеко" убегать.

Этот случай можно превратить в исходный, если перейти к обратному отображению (или обратить время для дифференциального уравнения). И сценарий тут получается таким: