Возвращаясь к бифуркациям — естественно, что на второй бифуркации всё не заканчивается, если двигать параметр c дальше влево, то в какой-то момент потеряет устойчивость и орбита периода 4, и родившаяся из неё орбита периода 8, и так далее. И происходит это "всё быстрее и быстрее", ускоряясь, как геометрическая прогрессия. Вот вид на гиперболическую компоненту с периодом 2 —

Вот — увеличенный на компоненту с периодом 4:

Вот тут в центре уже гиперболическая компонента с периодом 8 —

И видно, что компоненты (например, их горизонтальные диаметры) убывают (асимтотически) как геометрическая прогрессия — со знаменателем 1/4.669...

И можно спросить — а почему так происходит?

И ещё — а что будет, если мы (забыв временно про комплексные числа) будем смотреть на такие же моменты бифуркаций для какого-нибудь другого семейства? Например, для семейства отображений
x -> μ sin(πx)
отрезка [0,1] в себя?

Как и для логистического семейства
x -> λx(1-x),
при маленьких значениях μ всё сваливается в x=0. При μ>1/π ноль становится неустойчивой точкой — и появляется неподвижная точка внутри отрезка.

При дальнейшем увеличении μ в некоторый момент μ_1 эта точка теряет устойчивость — и из неё рождается притягивающая орбита периода 2.
Увеличиваем μ дальше — при некотором значении μ_2 эта орбита тоже теряет устойчивость (мультипликатор переходит через (-1)), и рождается притягивающая орбита периода 4. И так далее...

Смотрим на то, с какой скоростью происходит "учащение" — то есть на предел

И получаем... опять 4.669... !

Естественно, что такое совпадение совершенно не случайно; это — универсальность Фейгенбаума—Кулле—Трессера.
А откуда она берётся — и что ещё происходит на главной кардиоиде и рядом с ней — я расскажу в следующий раз.

P.S. Оказывается, про Такомский мост писали в "Квантике":
http://old.kvantik.com/art/files/pdf/2015-04.6-8.pdf

А вот упомянутая там замедленная съёмка биений бумажки — https://www.youtube.com/watch?v=Y9-W9BaAyww (via https://kvantik.com/issue/2015/ )

https://youtu.be/wTJI_WuZSwE

новое видео от 3blue1brow

обсуждается примерно такая задача

«Тюремщик пообещал двум друзьям, что завтра первого из них приведут в комнату, где на каждой клетке шахматной доски лежит монета — либо вверх орлом, либо вверх решкой (но как именно, заранее неизвестно) — и предложат перевернуть одну из монет. После этого тюремщик перевернет одну из монет, приведет второго друга и предложит ему определить, какую из монет перевернул тюремщик. Если он определил правильно — обоих друзей отпустят. Как им освободиться?»

С.Грибок. Мудрецы, колпаки и арифметика конечных полей (Квант-2019-04)

в отличие от видео 3b1b, в этой статье никаких монет на шахматной доске нет… казалось бы

https://youtu.be/laAtv310pyk

видимо что-то такое в воздухе сейчас — Numberphile сегодня тоже про мудрецов в колпаках

Давайте я договорю про периодические компоненты рядом с главной кардиоидой. Вот мы посмотрели на то, что происходит, когда мы пересекаем её в точке с мультипликатором (-1) — рождается притягивающая периодическая орбита периода 2, а в момент пересечения квадрат отображения имеет вид
z -> z + Az^3 + ...;
у этой параболической точки два притягивающих (и два отталкивающих) лепестка Фату (собственно, f в каждой паре лепестки переставляет — на то у него и мультипликатор (-1)).