При дальнейшем увеличении μ в некоторый момент μ_1 эта точка теряет устойчивость — и из неё рождается притягивающая орбита периода 2.
Увеличиваем μ дальше — при некотором значении μ_2 эта орбита тоже теряет устойчивость (мультипликатор переходит через (-1)), и рождается притягивающая орбита периода 4. И так далее...

Смотрим на то, с какой скоростью происходит "учащение" — то есть на предел

И получаем... опять 4.669... !

Естественно, что такое совпадение совершенно не случайно; это — универсальность Фейгенбаума—Кулле—Трессера.
А откуда она берётся — и что ещё происходит на главной кардиоиде и рядом с ней — я расскажу в следующий раз.

P.S. Оказывается, про Такомский мост писали в "Квантике":
http://old.kvantik.com/art/files/pdf/2015-04.6-8.pdf

А вот упомянутая там замедленная съёмка биений бумажки — https://www.youtube.com/watch?v=Y9-W9BaAyww (via https://kvantik.com/issue/2015/ )

https://youtu.be/wTJI_WuZSwE

новое видео от 3blue1brow

обсуждается примерно такая задача

«Тюремщик пообещал двум друзьям, что завтра первого из них приведут в комнату, где на каждой клетке шахматной доски лежит монета — либо вверх орлом, либо вверх решкой (но как именно, заранее неизвестно) — и предложат перевернуть одну из монет. После этого тюремщик перевернет одну из монет, приведет второго друга и предложит ему определить, какую из монет перевернул тюремщик. Если он определил правильно — обоих друзей отпустят. Как им освободиться?»

С.Грибок. Мудрецы, колпаки и арифметика конечных полей (Квант-2019-04)

в отличие от видео 3b1b, в этой статье никаких монет на шахматной доске нет… казалось бы

https://youtu.be/laAtv310pyk

видимо что-то такое в воздухе сейчас — Numberphile сегодня тоже про мудрецов в колпаках

Давайте я договорю про периодические компоненты рядом с главной кардиоидой. Вот мы посмотрели на то, что происходит, когда мы пересекаем её в точке с мультипликатором (-1) — рождается притягивающая периодическая орбита периода 2, а в момент пересечения квадрат отображения имеет вид
z -> z + Az^3 + ...;
у этой параболической точки два притягивающих (и два отталкивающих) лепестка Фату (собственно, f в каждой паре лепестки переставляет — на то у него и мультипликатор (-1)).

А что происходит, если мультипликатор будет не (-1), а корнем кубическим из 1, если мы будем итерировать отображение
f : w-> λw + w^2,
где λ=exp(2πi/3) ?

Или, как мы уже научились пересчитывать,
z->z^2+c,
где с=(λ/2)-(λ/2)^2 ?

Посмотрим теперь на отображение w->f^3(w). Ноль всё ещё неподвижная точка, и производная в нём (она же коэффициент при w) равна λ^3=1.
Если раскрыть скобки, то можно увидеть, что члены с w^2 и даже с w^3 сократятся. Это можно увидеть прямым вычислением — но правильнее всего заметить, что f и f^3 коммутируют, и w^4 — первая степень, ненулевой коэффициент при которой этому не противоречит. Поэтому
f^3(w) = w + A w^4 + ...,
и мы получаем параболическую точку с тремя притягивающими лепестками — которые f^3 сохраняет, а f переставляет по циклу.

Иными словами — "толстую" версию кролика Дуади:

А после пересечения главной кардиоиды мы попадаем в гиперболическую компоненту, где притягивающая орбита имеет период 3; её "центр" — параметр, при котором критическая точка 0 оказывается периодичной — и соответствует тому самому кролику, которого мы видели раньше.

То же самое происходит, если мы посмотрим на отображение
f : w-> λw + w^2,
где λ=exp(2πi p/q) — корень q-й степени из единицы. Если посмотреть на
f^q(w)=w+ A w^m+...,
то первой выжившей степенью будет m=q+1-я — по тем же причинам, что f и f^q должны коммутировать:

и раз одно равно другому, то λ^m=λ, то есть m=kq+1.
(Я не проверил, что собственно q+1-я степень действительно выживает — заметём это под ковёр.)

Да — давайте я покажу тут пару картинок из записок мини-курса Arnaud Cheritat,
http://num.math.uni-goettingen.de/~summer/cheritat.pdf .
Во-первых, просто картинка лепестков — показывающая, как устроена динамика f^q рядом с параболической точкой: