Есть менее очевидные, которые всё ещё можно обработать. Но нет никакого алгоритма, позволяющего правильно дать ответ во всех случаях.

Потому что — пусть такой алгоритм ( = программа) существует:

Испортим эту программу (которая должна была бы давать ответ всегда): пусть она зависает вместо того, чтобы печатать "OK" — но аккуратно печатает "FAIL":

А теперь запустим его самого на себе:

И получим классический парадокс лжеца: если он останавливается, то он должен был бы зависнуть из-за того, как мы его испортили (вместо того, чтобы напечатать "OK"), а если он зависает, то должен был бы добросовестно напечатать "FAIL" и остановиться.

(спасибо Анне Горденко за рисунки :) )

На самом деле — я тут чуть-чуть сжульничал: чтобы рассуждения выше стали совсем правдой, нужно сказать, что мы рассматриваем пару из программы и входных данных — а эти рассуждения доказывают алгоритмическую неразрешимость проблемы самоприменимости: "остановится ли программа, если её запустить на её собственном коде в качестве входных данных?"

Но если бы мы могли решать, остановится ли данная программа на данных начальных данных — то и про частный случай, "запустить на своём собственном коде", смогли бы ответить. А мы только что увидели, что даже для этого частного случая никакого алгоритма нет.

И это — теорема Алана Тьюринга 1936 года.

Так вот — есть метод, который позволяет иногда ответить на вопрос, останавливается ли программа: скажем, подождать годик, вдруг остановится. И кстати — это не такой дурацкий способ!
Я приведу цитату из (очень живым языком написанной) статьи А. Разборова в сборнике "Студенческих чтений НМУ", https://www.mccme.ru/free-books/globus/iumlectures1.pdf , которую (как и весь сборник — и последовавшие за ним выпуски "Глобуса") очень советую:

Но проблема этого метода — всегда остаётся сомнение, а достаточно ли мы подождали?

Так вот — теперь, и при взгляде на множество Жюлиа и его построение ("подождать достаточно долго"), должно закрасться то же подозрение. Так вот — закрадывается оно по делу — и я тут процитирую статью Бравермана и Ямпольского (https://arxiv.org/pdf/math/0610340.pdf ) :

То есть — заполненное множество Жюлиа построить можно (что уже неочевидно). Но вот для настоящего множества Жюлиа — для границы заполненного — это уже неправда!
Есть такие c, которые можно "указать явно" (точнее, написать программу, задающую их со сколь угодно высокой точностью) — что никакой алгоритм не сможет сколь угодно точно это множество нарисовать.

Про ренормализацию и константу Фейгенбаума я расскажу в следующий раз; а пока порекламирую видео Veritasium
https://www.youtube.com/watch?v=ovJcsL7vyrk —
и Numberphile
https://www.youtube.com/watch?v=FFftmWSzgmk +
https://www.youtube.com/watch?v=NGMRB4O922I +
https://www.youtube.com/watch?v=4LQvjSf6SSw
И на этом на сегодня я завершаю дозволенные речи.