Испортим эту программу (которая должна была бы давать ответ всегда): пусть она зависает вместо того, чтобы печатать "OK" — но аккуратно печатает "FAIL":

А теперь запустим его самого на себе:

И получим классический парадокс лжеца: если он останавливается, то он должен был бы зависнуть из-за того, как мы его испортили (вместо того, чтобы напечатать "OK"), а если он зависает, то должен был бы добросовестно напечатать "FAIL" и остановиться.

(спасибо Анне Горденко за рисунки :) )

На самом деле — я тут чуть-чуть сжульничал: чтобы рассуждения выше стали совсем правдой, нужно сказать, что мы рассматриваем пару из программы и входных данных — а эти рассуждения доказывают алгоритмическую неразрешимость проблемы самоприменимости: "остановится ли программа, если её запустить на её собственном коде в качестве входных данных?"

Но если бы мы могли решать, остановится ли данная программа на данных начальных данных — то и про частный случай, "запустить на своём собственном коде", смогли бы ответить. А мы только что увидели, что даже для этого частного случая никакого алгоритма нет.

И это — теорема Алана Тьюринга 1936 года.

Так вот — есть метод, который позволяет иногда ответить на вопрос, останавливается ли программа: скажем, подождать годик, вдруг остановится. И кстати — это не такой дурацкий способ!
Я приведу цитату из (очень живым языком написанной) статьи А. Разборова в сборнике "Студенческих чтений НМУ", https://www.mccme.ru/free-books/globus/iumlectures1.pdf , которую (как и весь сборник — и последовавшие за ним выпуски "Глобуса") очень советую:

Но проблема этого метода — всегда остаётся сомнение, а достаточно ли мы подождали?

Так вот — теперь, и при взгляде на множество Жюлиа и его построение ("подождать достаточно долго"), должно закрасться то же подозрение. Так вот — закрадывается оно по делу — и я тут процитирую статью Бравермана и Ямпольского (https://arxiv.org/pdf/math/0610340.pdf ) :

То есть — заполненное множество Жюлиа построить можно (что уже неочевидно). Но вот для настоящего множества Жюлиа — для границы заполненного — это уже неправда!
Есть такие c, которые можно "указать явно" (точнее, написать программу, задающую их со сколь угодно высокой точностью) — что никакой алгоритм не сможет сколь угодно точно это множество нарисовать.

Про ренормализацию и константу Фейгенбаума я расскажу в следующий раз; а пока порекламирую видео Veritasium
https://www.youtube.com/watch?v=ovJcsL7vyrk —
и Numberphile
https://www.youtube.com/watch?v=FFftmWSzgmk +
https://www.youtube.com/watch?v=NGMRB4O922I +
https://www.youtube.com/watch?v=4LQvjSf6SSw
И на этом на сегодня я завершаю дозволенные речи.

поздравляем Сергея Константиновича Ландо с 65-летием!

завтра (10.07) — конференция, https://math.hse.ru/announcements/376454323.html

https://mccme.ru/free-books/lando/lando-genfunc.pdf

напомним также про небольшую книгу С.К.Ландо про производящие функции

«Предметом нашего исследования будут задачи перечислительной комбинаторики. Они заключаются в подсчете числа объектов, принадлежащих некоторому семейству конечных множеств. (…)

Как правило, задача перечислительной комбинаторики «в принципе» разрешима: для каждого множества из семейства можно выписать все его элементы и таким образом узнать их число. Проблема, однако, состоит в том, чтобы найти «хорошее» решение, не требующее выписывания всех элементов изучаемых множеств.

Определить, что такое хорошее решение, довольно трудно. Зачастую можно лишь сравнить два решения и сказать, какое из них лучше.

При решении задач перечислительной комбинаторики очень полезно рассматривать производящие многочлены (или, более общо, производящие ряды). (…) Операции с комбинаторными объектами очень естественно выражаются в терминах производящих функций. (…)

Привлечение методов из смежных областей математики (например, из анализа) дает новый взгляд на перечислительные задачи и позволяет находить неожиданные подходы к их решению.»

«Мне хотелось написать простую и доступную книгу, уделив внимание в первую очередь ярким примерам, а не общим теориям (которые, к тому же, зачастую отсутствуют). (…) Предлагаемая вниманию читателей книга написана на основе специального курса, читавшегося студентам Независимого московского университета в 1992–99 гг.»

«Лекции о производящих функциях» легли в основу и более подробной книги «Введение в дискретную математику», https://biblio.mccme.ru/node/2720/ (соответствующей уже курсам на матфаке ВШЭ)