Лекция начинается через ~5 минут

К завтрашней лекции Гаянэ Паниной две задачи:

1) всякая плоская фигура может быть разделена двумя прямолинейными разрезами на четыре равные по площади части;

2) не всякая плоская фигура может быть разделена тремя прямолинейными разрезами на семь равных по площади частей.

Первый (самый простой) вопрос из лекции Гаянэ: есть N красных и N зелёных точек в общем положении на плоскости. Всегда ли их можно разбить на пары попарно непересекающимися отрезками?

Решение 1 (стандартное): принцип крайнего. Разобьём как-нибудь, если какие-то два отрезка пересеклись, то "перещёлкнем" их, поменяв пары. Тогда сумма их длин уменьшится (неравенство треугольника). Значит, сумма длин всех отрезков за каждую операцию уменьшается, а число способов разбить на пары конечно. Поэтому то разбиение, которое минимизирует сумму длин, нас точно устроит.

А Гаянэ показывает другое решение — можно найти прямую, по обе стороны от почти одинаковое число точек каждого из цветов. И дальше можно запустить индукцию — сгруппировав по отдельности точки слева и справа от прямой.

А это деление — это аналог теоремы о блинах:

А теорема о бутерброде применяется для аналогичного вопроса в размерности 3 —

... и вот уже в задаче об одновременном делении двух тел двумя плоскостями возникает класс Эйлера ...

Продолжим про ренормализацию и универсальность?

И давайте я напомню кусочек истории про логистическое отображение. Это отображение
x-> λx(1-x).
Его очень естественно использовать для популяционной динамики: если в этом году популяция равна x — то в следующем будет λx из-за размножения, "подправленное" на -λx^2 из-за того, что когда кроликов/белок/рыб/кузнечиков много, они мешают друг другу, съедая общую кормовую базу.

Коэффициент перед x^2 можно сделать любым — это вопрос масштаба/единиц измерения; тут масштаб выбран таким, чтобы 1 было тем максимумом, до которого на следующий год вообще хоть кто-нибудь доживёт.

В 1976 году в Nature появилась статья Р. Мэя (https://www.nature.com/articles/261459a0 ), в которой он его популяризизировал — в том числе, обсуждая каскад бифуркаций удвоения периода — и вскоре "началось".
Кстати, тоже чисто историческое. В этой статье два рисунка (рис. 2 и 3) — "до" и "после" бифуркации удвоения периода — поменяли местами (но оставив на месте подписи). Представляю, как автору должно было быть обидно...

На этой — известной — диаграмме по оси абсцисс отложен параметр λ, а по оси ординат — "предельный режим", на который система при данном λ выходит.

Так, при λ<=1 популяция просто вымирает; при λ от 1 до 3 выходит на положение равновесия:

При λ=3 происходит бифуркация удвоения периода, потом ещё одна, потом ещё одна...