Сама спираль, кстати, могла бы быть и не нарисована: мы бы всё равно её увидели из-за того, как на ней семейство окружностей сгущается (и это не случайность!).

Давайте я пока оставлю тут ссылку на статью Жиса, Табачникова и Тиморина (Osculating curves: around the Tait-Kneser theorem, Math. Intelligencer 35 (2013)) — http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/osculatingcurves.pdf — и упомяну заодно лекцию 10 ("Вокруг четырёх вершин") из "Математического дивертисмента" Фукса-Табачникова

Но это было в качестве рекламы — а завтра Этьен будет рассказывать совсем о другом!

Меньше, чем через три часа, в "Математических вечерах ЛШСМ" ( https://www.mccme.ru/dubna/lect2020/ ) лекция Александра Логунова, "Гармонические функции и парадоксы вокруг теоремы Лиувилля".

А ещё — из позавчерашней лекции Этьена Жиса, её отправная точка: теорема Концевича "с билета на метро".

Как-то раз, много лет назад, Этьен Жис и Максим Концевич сидели рядом на скучном заседании какой-то комиссии, и Концевич что-то писал на маленьком кусочке бумаги. В какой-то момент он передал Этьену билет на (парижское) метро, на котором был рисунок и одно-единственное слово, "impossible" = "невозможно".

Это и была теорема Концевича.

Вот что она утверждает, если её сформулировать более развернуто. Предположим, что у нас есть несколько многочленов, обращающихся в ноль в точке x=0:

Тогда есть порядок, в котором их графики идут слева от 0 (достаточно близко к 0, чтобы там не было других точек пересечения), а есть — порядок справа от 0. Поэтому возникает перестановка "прохода вдоль графиков" — переводящая порядок слева от 0 в порядок справа от 0.

Теорема Концевича: 4 графика многочленов не могут образовывать картинку с билета на метро — иными словами, перестановка
1-> 3,
2-> 1,
3-> 4,
4-> 2
не реализуется никакой четвёркой многочленов.

Конечно, такой же вопрос можно задавать для любых n различных многочленов — и наоборот, для любой перестановки n элементов спрашивать, реализуется ли она. Так, тройка многочленов x^2,0,-x^2 реализует тождественную перестановку, а тройка x,0,-x — переворачивающую перестановку
123 -> 321.

Вопрос: какие перестановки таким образом реализуются?
Для n=1,2,3 — все возможные. Это простое упражнение — а вот картинка из книги Жиса "A Singular Mathematical Promenade":

Для n=4 же есть ровно две невозможные перестановки: та, которую Концевич показывал Жису на билете в метро, и её обратная (соответствующая зеркальному отражению картинки).

А что будет для произвольного n?
Теорема: Перестановка n элементов реализуется некоторым набором из n полиномов тогда и только тогда, когда никакие четыре точки не переставляются ни одним из двух запрещённых способов.

Из статьи Этьена Жиса "Intersecting curves
(variation on an observation of Maxim Kontsevich)" — http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/intersectingcurves.pdf

Кстати, вышла эта статья в номере American Mathematical Monthly, посвящённом "евро-Дубне" — европейской летней школе-близнецу ЛШСМ, проходившей в Бремене и в Лионе.
Поэтому у этого номера бременские музыканты на обложке:
https://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.120.03.232?seq=1

Доказать теорему Концевича очень просто:
Доказательство. От противного — пусть такая четвёрка полиномов существует. Сразу можно предположить, что f_1=0 (просто вычтя его из остальных).
Определение. Нормирование (valuation) v(P) многочлена P — это порядок его корня в нуле, иными словами, самая младшая степень, коэффициент при которой отличен от нуля.
Это определение очень полезно: если нормирование у многочлена чётно, то он справа и слева от нуля одного знака, а если нечётно, то разных. А ещё легко увидеть, что верно вот такое вспомогательное утверждение:
Лемма. Если |P|>|Q| в левой или правой окрестности нуля, то v(P)<=v(Q).
(Собственно, очень логично: чем выше порядок нуля, тем меньше в малой окрестности должен быть многочлен.)