Как-то раз, много лет назад, Этьен Жис и Максим Концевич сидели рядом на скучном заседании какой-то комиссии, и Концевич что-то писал на маленьком кусочке бумаги. В какой-то момент он передал Этьену билет на (парижское) метро, на котором был рисунок и одно-единственное слово, "impossible" = "невозможно".

Это и была теорема Концевича.

Вот что она утверждает, если её сформулировать более развернуто. Предположим, что у нас есть несколько многочленов, обращающихся в ноль в точке x=0:

Тогда есть порядок, в котором их графики идут слева от 0 (достаточно близко к 0, чтобы там не было других точек пересечения), а есть — порядок справа от 0. Поэтому возникает перестановка "прохода вдоль графиков" — переводящая порядок слева от 0 в порядок справа от 0.

Теорема Концевича: 4 графика многочленов не могут образовывать картинку с билета на метро — иными словами, перестановка
1-> 3,
2-> 1,
3-> 4,
4-> 2
не реализуется никакой четвёркой многочленов.

Конечно, такой же вопрос можно задавать для любых n различных многочленов — и наоборот, для любой перестановки n элементов спрашивать, реализуется ли она. Так, тройка многочленов x^2,0,-x^2 реализует тождественную перестановку, а тройка x,0,-x — переворачивающую перестановку
123 -> 321.

Вопрос: какие перестановки таким образом реализуются?
Для n=1,2,3 — все возможные. Это простое упражнение — а вот картинка из книги Жиса "A Singular Mathematical Promenade":

Для n=4 же есть ровно две невозможные перестановки: та, которую Концевич показывал Жису на билете в метро, и её обратная (соответствующая зеркальному отражению картинки).

А что будет для произвольного n?
Теорема: Перестановка n элементов реализуется некоторым набором из n полиномов тогда и только тогда, когда никакие четыре точки не переставляются ни одним из двух запрещённых способов.

Из статьи Этьена Жиса "Intersecting curves
(variation on an observation of Maxim Kontsevich)" — http://perso.ens-lyon.fr/ghys/articles/intersectingcurves.pdf

Кстати, вышла эта статья в номере American Mathematical Monthly, посвящённом "евро-Дубне" — европейской летней школе-близнецу ЛШСМ, проходившей в Бремене и в Лионе.
Поэтому у этого номера бременские музыканты на обложке:
https://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.120.03.232?seq=1

Доказать теорему Концевича очень просто:
Доказательство. От противного — пусть такая четвёрка полиномов существует. Сразу можно предположить, что f_1=0 (просто вычтя его из остальных).
Определение. Нормирование (valuation) v(P) многочлена P — это порядок его корня в нуле, иными словами, самая младшая степень, коэффициент при которой отличен от нуля.
Это определение очень полезно: если нормирование у многочлена чётно, то он справа и слева от нуля одного знака, а если нечётно, то разных. А ещё легко увидеть, что верно вот такое вспомогательное утверждение:
Лемма. Если |P|>|Q| в левой или правой окрестности нуля, то v(P)<=v(Q).
(Собственно, очень логично: чем выше порядок нуля, тем меньше в малой окрестности должен быть многочлен.)

Применим эту лемму: слева от нуля
|f_4|>|f_3|>|f_2|
(напомним, f_1=0), поэтому
v(f_4)<=v(f_3)<=v(f_2).
С другой стороны, справа от нуля |f_2|>|f_4|, поэтому
v(f_2)<=v(f_4),
значит, все три нормирования совпадают.

Но f_2 меняет знак при переходе через ноль, значит, его нормирование нечётное. А f_3 сохраняет, значит, его нормирование чётное. Но одно и то же число не может быть и чётным, и нечётным одновременно!

Для произвольного n — стрелка в одну сторону в теореме Жиса очевидна. А вот почему запрет на четвёрки единственно необходимый, надо смотреть.
Давайте я об этом сюжете скажу ещё буквально пару слов — и отошлю к выложенной записи лекции и к книге Жиса "A Singular Mathematical Promenade", английский текст которой, кстати, выложен в открытом доступе.

к сегодняшней лекции Этьена Жиса напомним про книгу A Singular Mathematical Promenade — английская версия доступна на архиве ( https://arxiv.org/abs/1612.06373 ), русское издание готовится к выходу

https://youtu.be/dUqJIdhICDQ

см. тж. рассказ в «математических байках», https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2710 и далее

Ссылка на видео лекции, конечно, есть и на https://www.mccme.ru/dubna/lect2020/ ; кстати, видео вчерашней лекции Александра Логунова тоже уже выложено (как и его слайды) — см. https://youtu.be/wuOqN-jfie4