Доказать теорему Концевича очень просто:
Доказательство. От противного — пусть такая четвёрка полиномов существует. Сразу можно предположить, что f_1=0 (просто вычтя его из остальных).
Определение. Нормирование (valuation) v(P) многочлена P — это порядок его корня в нуле, иными словами, самая младшая степень, коэффициент при которой отличен от нуля.
Это определение очень полезно: если нормирование у многочлена чётно, то он справа и слева от нуля одного знака, а если нечётно, то разных. А ещё легко увидеть, что верно вот такое вспомогательное утверждение:
Лемма. Если |P|>|Q| в левой или правой окрестности нуля, то v(P)<=v(Q).
(Собственно, очень логично: чем выше порядок нуля, тем меньше в малой окрестности должен быть многочлен.)

Применим эту лемму: слева от нуля
|f_4|>|f_3|>|f_2|
(напомним, f_1=0), поэтому
v(f_4)<=v(f_3)<=v(f_2).
С другой стороны, справа от нуля |f_2|>|f_4|, поэтому
v(f_2)<=v(f_4),
значит, все три нормирования совпадают.

Но f_2 меняет знак при переходе через ноль, значит, его нормирование нечётное. А f_3 сохраняет, значит, его нормирование чётное. Но одно и то же число не может быть и чётным, и нечётным одновременно!

Для произвольного n — стрелка в одну сторону в теореме Жиса очевидна. А вот почему запрет на четвёрки единственно необходимый, надо смотреть.
Давайте я об этом сюжете скажу ещё буквально пару слов — и отошлю к выложенной записи лекции и к книге Жиса "A Singular Mathematical Promenade", английский текст которой, кстати, выложен в открытом доступе.

к сегодняшней лекции Этьена Жиса напомним про книгу A Singular Mathematical Promenade — английская версия доступна на архиве ( https://arxiv.org/abs/1612.06373 ), русское издание готовится к выходу

https://youtu.be/dUqJIdhICDQ

см. тж. рассказ в «математических байках», https://news.1rj.ru/str/mathtabletalks/2710 и далее

Ссылка на видео лекции, конечно, есть и на https://www.mccme.ru/dubna/lect2020/ ; кстати, видео вчерашней лекции Александра Логунова тоже уже выложено (как и его слайды) — см. https://youtu.be/wuOqN-jfie4

Да — в качестве рекламы, первый слайд лекции Логунова:

Понятно, что угол, под которым из точки X виден отрезок AB, это аргумент отношения ((X-B)/(X-A)), иными словами, мнимая часть логарифма этого отношения. А мнимая часть комплексно-дифференцируемой функции гармонична — и остаётся применить теорему о среднем.
Но красиво — такое чисто геометрическое утверждение. :)

Но давайте я вернусь к лекции и к книге Жиса.
Вообще, можно спросить, как описывать порождаемую какими-то многочленами перестановку. И тут ответ очень простой и логичный: давайте их сгруппируем сначала по производной в нуле (или по коэффициенту при x), потом внутри одной группы по коэффициенту при x^2, и так далее. Тогда (под)группы, отличающиеся в первый раз в нечётной степени, меняют свой порядок на обратный, а группы, отличающиеся в чётной, его сохраняют.

Картинка из лекции —

Если действовать буквально так, то на каких-то "этажах" может статься, что подразбивать не понадобится; а подразбиения на уровнях одинаковой чётности, между которыми ничего не происходит, можно объединять. Скажем, если у нас
P_1=x+x^3, P_2=x+2x^3, P_3=2x,
то уровень x^2 ничего не добавляет, и порядок всех этих трёх многочленов меняется на обратный.

И если это учесть — получается, что перестановке сопоставляется (корневое плоское) дерево, у которого каждая вершина имеет либо 0 потомков, либо не меньше 2.

Только ещё есть вопрос о том, что же происходит на первом уровне (самая младшая степень, в которой отличаются многочлены, чётная или нечётная), поэтому число возможных перестановок будет вдвое больше, чем число таких деревьев.

Таких деревьев с n листьями при n=1,2,3,4 будет 1,1,3 и 11 соответственно — что как раз соответствует 1,2,6,22=24-2 реализующимся перестановкам (а при n=1 удвоения не происходит!)

А если спросить, сколько таких деревьев для n=10, то ответ — 103049 — есть ещё у Плутарха!

И вот соответствующая последовательность —
https://en.wikipedia.org/wiki/Schr%C3%B6der%E2%80%93Hipparchus_number

Тем самым, из всех 10!=3628800 перестановок многочленами реализуется всего лишь
2*103049/10! ~ 5.67%.
Так что "незначительный" запрет на порядки четвёрок, на самом деле, довольно быстро приводит к тому, что реализуется лишь малая доля всех перестановок. Собственно — производящая функция для чисел Шредера-Гиппарха считается явно (что есть несложное упражнение на производящие функции), и имеет конечный радиус сходимости — так что растёт их количество лишь экспоненциальным, а не факториальным, образом: