Тем самым, из всех 10!=3628800 перестановок многочленами реализуется всего лишь
2*103049/10! ~ 5.67%.
Так что "незначительный" запрет на порядки четвёрок, на самом деле, довольно быстро приводит к тому, что реализуется лишь малая доля всех перестановок. Собственно — производящая функция для чисел Шредера-Гиппарха считается явно (что есть несложное упражнение на производящие функции), и имеет конечный радиус сходимости — так что растёт их количество лишь экспоненциальным, а не факториальным, образом:

(из всё той же статьи Жиса)

Да, если 5.6% кажется недостаточно малой долей, то для n=20 отношение становится примерно 1.3*10^{-6}. :)

Но — это была лишь отправная точка, как лекции, так и книги. А, наоборот, финальная точка лекции это рассказ про хордовые диаграммы, приходящие из плоских алгебраических кривых.

А именно — пусть на плоскости есть вещественная алгебраическая кривая: множество, заданное уравнением P(x,y)=0. Часто это просто хорошая кривая — скажем, прямая
ax+by+c=0
или окружность
(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 - r^2 =0.
Но иногда на ней бывают особые точки — как начало координат для пары пересекающихся прямых
xy=0
или как "клюв"/"касп"
y^2-x^3=0.

Вот пусть начало координат оказалось такой точкой. Точно так же, как оно окажется им для кривой, задаваемой уравнением
(y-P_1(x))*...*(y-P_n(x))=0,
где P_i — многочлены из первой части, обращающиеся в ноль в точке x=0.

Оказывается, что тогда рядом с этой особой точкой кривая разделяется на чётное число входящих в эту точку "ветвей", которые естественным образом разбиваются на пары:

А значит, возникает разбиение на пары на 2n точках, по которым кривая пересекает маленькую окружность вокруг особой точки:

Иными словами — хордовая диаграмма:

И возникает такой же естественный вопрос: а какие хордовые диаграммы реализуются? И сколько их?

(Кстати — тут три запрета это просто поддиаграммы, а вот четвёртый это целое счётное семейство: запрещены "циклы" любой длины n>=5)

На этом я завершаю рассказ про лекцию Жиса — а про его книгу хочу упомянуть ещё три места:

1) Доказательство Гаусса основной теоремы алгебры: