Это, конечно, далеко не всегда так — эти кривые могут оказаться особыми, как на этом рисунке (он и предыдущий — из книги Жиса):

Красная кривая тут это Re P(z)=0, а синяя это Im P(z)=0. Особые точки есть на обоих. Иногда бывает так, что особые точки есть только на одной из них (опять же, картинка из книги) —

Но, в любом случае, если чуть-чуть "пошевелить" полином, то они исчезнут. А потом, устремив "шевеление" к нулю и аккуратно проконтролировав происходящее, можно будет найти ноль и у невозмущённого полинома.
(Да, я использую современный анализ вместо того, чтобы аккуратно с особыми точками работать, как раз таки разбираясь с чётностью количества ветвей, но так идея проще рассказывается.)

Так вот — нас интересуют точки пересечения синих и красных кривых. Пусть кривые неособые; посмотрим, что мы видим на большом расстоянии от 0. А видим мы как раз такую картину, как для чистого z^n — в круг большого радиуса R красные и синие ветви входят, чередуясь.

Раз мы уже предположили, что они неособые, то точки входа по отдельности для красной и для синей кривых разобьются на пары, соединённые неособыми кривыми — как для синей кривой тут.

Но для каждой из синих кривых по каждую сторону от неё чётное число точек входа других синих кривых (раз они не пересекаются) — и потому нечётное число точек входа красной (потому что входы синих и красных чередуются). Значит, каждую синюю кривую хотя бы одна красная пересекает — и вот нам n корней!

(Ещё раз — я, конечно, разобрал только простой "неособый" случай; к нему надо или сводить современным анализом, или аккуратно обрабатывать общий случай, и я ни того, ни другого делать не буду.)

2) Ещё пара кусочков из Ньютона — и до того, как я эти вставки увидел, я не понимал, насколько понятно Ньютон писал.

Единственное, что нам непривычно — это что квадрат переменной обозначается не квадратом, а её произведением на себя. Ну и ещё вертикально-вытянутое написание буквы "s", которую всё хочется принять за "f"

Разложение \sqrt{a^2+x^2} в ряд:

И к вопросу о плоских кривых — а почему, собственно, многоугольник Ньютона коэффициентов называют многоугольником Ньютона?

3) Ну и в заключение — "карта странствий", которой книга Жиса открывается:

Ну и на этом рассказ про книгу и лекцию Жиса я хочу завершить.

Последнее на сегодня — Александр Шень меня поправил, что здесь теорема о среднем вытаскивается совсем просто: угол, под которым виден отрезок AB, это разность углов, под которыми наклонены отрезки BX и AX (внешний угол в треугольнике / логарифм отношения, кому как удобнее), а каждый отдельный угол удовлетворяет теореме о среднем просто по симметрии.
Спасибо! :)

А завтра в "Математических вечерах ЛШСМ" будет (в 16:00 по Москве) лекция Сергея Горчинского, "Панорама арифметической геометрии".