Раз мы уже предположили, что они неособые, то точки входа по отдельности для красной и для синей кривых разобьются на пары, соединённые неособыми кривыми — как для синей кривой тут.

Но для каждой из синих кривых по каждую сторону от неё чётное число точек входа других синих кривых (раз они не пересекаются) — и потому нечётное число точек входа красной (потому что входы синих и красных чередуются). Значит, каждую синюю кривую хотя бы одна красная пересекает — и вот нам n корней!

(Ещё раз — я, конечно, разобрал только простой "неособый" случай; к нему надо или сводить современным анализом, или аккуратно обрабатывать общий случай, и я ни того, ни другого делать не буду.)

2) Ещё пара кусочков из Ньютона — и до того, как я эти вставки увидел, я не понимал, насколько понятно Ньютон писал.

Единственное, что нам непривычно — это что квадрат переменной обозначается не квадратом, а её произведением на себя. Ну и ещё вертикально-вытянутое написание буквы "s", которую всё хочется принять за "f"

Разложение \sqrt{a^2+x^2} в ряд:

И к вопросу о плоских кривых — а почему, собственно, многоугольник Ньютона коэффициентов называют многоугольником Ньютона?

3) Ну и в заключение — "карта странствий", которой книга Жиса открывается:

Ну и на этом рассказ про книгу и лекцию Жиса я хочу завершить.

Последнее на сегодня — Александр Шень меня поправил, что здесь теорема о среднем вытаскивается совсем просто: угол, под которым виден отрезок AB, это разность углов, под которыми наклонены отрезки BX и AX (внешний угол в треугольнике / логарифм отношения, кому как удобнее), а каждый отдельный угол удовлетворяет теореме о среднем просто по симметрии.
Спасибо! :)

А завтра в "Математических вечерах ЛШСМ" будет (в 16:00 по Москве) лекция Сергея Горчинского, "Панорама арифметической геометрии".

А у коллег —

В рамках несостоявшегося в этом году очного тура геометрической Олимпиады им. Шарыгина 31 июля 2020 года пройдет два онлайн-мероприятия:

• С 19:00 до 20:00 лекция Г.Ю.Паниной «Задача о ворах, укравших ожерелье».

• С 20:00 вечер поэзии, организованный Г.Б.Филипповским и В.Ю.Протасовым — читаем любимые стихи и общаемся.

Оба мероприятия проходят в zoom
(id: 712 442 4665; пароль: две единицы и следующие четыре числа Фибоначчи).

Лекция Горчинского начинается:

Ещё от А. Шеня, первая — ещё студенческая — заметка В. А. Успенского: http://mi.mathnet.ru/umn8612
Пара скриншотов оттуда: