А значит, до деления он и равнялся \sqrt{2\pi n} — вот мы и видим, что у плотности нормального распределения он в знаменателе, а в формуле Стирлинга в качестве множителя.

Но всё-таки, а откуда в гамма-функции ЦПТ, почему у нас тот самый гауссов интеграл получился?

Ну, почему в числителе минус y^2, понятно: значение мы вычли, линейного слагаемого у ряда Тейлора в точке максимума не бывает, а вторая производная будет отрицательна. Пополам там тоже тейлоровский. А вот почему модуль второй производной оказался равен именно n, а не, скажем, n^2?

Давайте возьмём распределение с плотностью e^{-x} на [0;+\infty) — его (логично) называют экспоненциальным распределением.

(Кстати, если случайное время до какого-нибудь хорошего события — например, до прихода троллейбуса — распределено именно так, то это бывает грустно. Ведь если мы подождали, скажем, 10 минут, а троллейбус всё ещё не пришёл, то условное распределение того, сколько нам ещё остаётся ждать, ровно такое же.)

Так вот — возьмём (n+1) случайную величину с таким распределением, и сложим.

Плотность суммы независимых случайных величин это свёртка плотностей:

Но экспоненты в произведении дают e^{-x}, а объём тетраэдра x_1+...+x_{n+1}=x как раз и равен x^n/n!.

Поэтому сумма (n+1) такой случайной величины имеет плотность (x^n/n!) e^{-x}.

То есть n! в знаменателе — тот самый, который мы приближаем, а x^n e^{-x} — та самая функция, что под интегралом в гамма-функции.

Вот почему функция под интегралом превратилась в гауссово распределение — сумма (n+1) величины и должна себя вести как нормальное распределение, это и говорит ЦПТ!

И вот почему в приближении там дисперсия n: потому что это сумма ~n одинаково распределённых слагаемых, каждое с дисперсией 1 — а дисперсия складывается.

Да, а вообще такие распределения — плотность как у гамма-функции, нормированные на единицу — называют (логично) гамма-распределениями:

И сумма двух величин, распределённых как гамма с параметрами a и b соответственно, оказывается распределённой как гамма с параметром a+b. А мы выше видели частных случай этого — для параметра a=1, который даёт просто экспоненциальное распределение.

Ну вот, мы двумя способами и увидели множитель в формуле Стирлинга — а заодно посмотрели на центральную предельную теорему.

И это, кажется, хороший момент на сегодня прекратить дозволенные речи.

Наверное, многие уже успели увидеть вот эту древнюю таблицу умножения —

в качестве картинки перед новым учебным годом: таблица умножения (via https://vk.com/msu_mechmath)

«Вплоть до конца XVII века на Руси использовалась буквенная система записи цифр. Осуществлять сложные математические расчеты при помощи такой системы было невозможно, но для простых арифметических действий она вполне подходила, что и демонстрирует таблица умножения из рукописи XVII в.»

На эту таблицу умножения и впрямь интересно посмотреть.
Во-первых, она начинается с квадратов.
Во-вторых, произведения там только в порядке "большее на меньшее"
В-третьих, и это самое интересное: уже в столбце квадратов мы читаем Д*Д=SI