То есть n! в знаменателе — тот самый, который мы приближаем, а x^n e^{-x} — та самая функция, что под интегралом в гамма-функции.

Вот почему функция под интегралом превратилась в гауссово распределение — сумма (n+1) величины и должна себя вести как нормальное распределение, это и говорит ЦПТ!

И вот почему в приближении там дисперсия n: потому что это сумма ~n одинаково распределённых слагаемых, каждое с дисперсией 1 — а дисперсия складывается.

Да, а вообще такие распределения — плотность как у гамма-функции, нормированные на единицу — называют (логично) гамма-распределениями:

И сумма двух величин, распределённых как гамма с параметрами a и b соответственно, оказывается распределённой как гамма с параметром a+b. А мы выше видели частных случай этого — для параметра a=1, который даёт просто экспоненциальное распределение.

Ну вот, мы двумя способами и увидели множитель в формуле Стирлинга — а заодно посмотрели на центральную предельную теорему.

И это, кажется, хороший момент на сегодня прекратить дозволенные речи.

Наверное, многие уже успели увидеть вот эту древнюю таблицу умножения —

в качестве картинки перед новым учебным годом: таблица умножения (via https://vk.com/msu_mechmath)

«Вплоть до конца XVII века на Руси использовалась буквенная система записи цифр. Осуществлять сложные математические расчеты при помощи такой системы было невозможно, но для простых арифметических действий она вполне подходила, что и демонстрирует таблица умножения из рукописи XVII в.»

На эту таблицу умножения и впрямь интересно посмотреть.
Во-первых, она начинается с квадратов.
Во-вторых, произведения там только в порядке "большее на меньшее"
В-третьих, и это самое интересное: уже в столбце квадратов мы читаем Д*Д=SI

Так вот — SI это "шестнадцать", но первая цифра тут "шесть", а вторая "десять".
То есть и впрямь буквально "шестнадцать".
Ну и, например, З*В=ВI, "двенадцать".
А вот З*Г=КА, "двадцать один", и порядок возвращается к обычному для позиционной записи.

===
Сегодняшняя байка — в начальной части скорее широко известная, а в заключительной скорее менее.

Если завращать гиперболу вокруг той её оси симметрии, которая её не пересекает, то получится однополостный гиперболоид. Например, если гипербола задавалась уравнением x^2-z^2=1, и вращаем вокруг оси Oz, то получится поверхность x^2+y^2-z^2=1.

И на этой поверхности есть два семейства прямых.
Больше ста лет назад инженер Владимир Григорьевич Шухов придумал красивую идею: пусть мы хотим построить башню, от которой нам нужна высота, но совершенно не обязательно, чтобы там было что-нибудь внутри.

Например, водонапорная башня, или башня маяка.
Тогда такую башню можно собрать в виде ажурного гиперболоида — из прямых и скрепляющих их окружностей. И то, и другое (относительно) просто делается и собирается.

На сайте Математических Этюдов есть рассказ об этом,
http://www.etudes.ru/ru/etudes/shukhov-tower/ ,
который я очень советую — в том числе из-за исторических фотографий. Вот одна из них, водонапорной башни на выставке 1896 года:

Вообще, гиперболических башен построили довольно много; я позволю себе ещё чуть-чуть процитировать сайт Этюдов —

Есть, скажем, гиперболическая обзорная башня в Кобе в Японии —

Но — самое знаменитое применение этой идеи это Шуховская (радио)башня высотой 150 метров. И тут возникает красивое развитие этой идеи — не надо строить высокие леса: можно собрать башню из гиперболических колец.

Сначала собирается первое. Потом внутри него собирается другое, и "за низ", через блоки наверху первого кольца, поднимается и пристыковывается к верху первого. Потом внутри собирается третье кольцо, и через блоки-"двуноги", которые уже есть наверху второго кольца, поднимается наверх и оно.

Иллюстрации с "Этюдов" —