Сверху — классическая формула Герона, но в варианте с раскрытыми скобками; из этого вида видно, что квадрат площади — многочлен не только от длин сторон, но и от их квадратов.

Снизу — общая формула; учтите, что тут А.А. обозначил через l_{ij} не длину ребра от P_i до P_j, а её квадрат.

В частности — вот версия для объёма тетраэдра (тоже скриншот из видеозаписи, правда, в этот раз из курса в ЛШСМ — http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?presentid=9386, — и тут l_{ij} обозначают просто длины, поэтому в определителе они возведены в квадрат):

А как такую формулу доказывать? Для начала давайте поймаем n!. А именно — если у нас есть n векторов в R^n, то объём симплекса, натянутого на эти вектора и начало координат, отличается от объёма натянутого на них же параллелограмма (иными словами, от составленного из них определителя) в n! раз.
Ибо площадь треугольника это половина произведения основания на высоту, объём тетраэдра это треть произведения высоты на площадь основания, и так далее — и вот и получается множитель
1/(n*(n-1)*...*2*1)= 1/n!

Это хорошо, но у нас-то (n+1) точка в R^n. Поэтому давайте возьмём их координаты и допишем к ним единицу в начало. Получится (n+1) вектор в R^{n+1} — и объём натянутого на них симплекса в (n+1)! раз меньше объёма натянутого на них же параллелепипеда. С другой стороны, этот же объём равен 1/(n+1) * объём исходного симплекса, потому что высота из вершины 0 равна 1: все остальные вершины живут в n-мерной плоскости x_1=1. Сокращая, получаем, что объём исходного симплекса равен (1/n!)*объём (n+1)-мерного параллелепипеда.

Следующий шаг — квадраты сторон и квадрат объёма наводят на мысль о матрице Грама, матрице скалярных произведений векторов. А именно, если у нас есть n векторов в R^n, то матрица из их попарных скалярных произведений называется матрицей Грама, и её определитель равен квадрату объёма натянутого на них параллелепипеда.
Потому что если мы запишем наши векторы по столбцам матрицы M, то их матрица Грама будет задаваться как
G=M^* M,
и её определитель будет равен квадрату определителя M — то есть квадрату объёма.

Но только пока получилось не совсем то, что надо: у матрицы Грама по диагонали стоят квадраты длин векторов, а вне диагонали скалярные произведения, а нам нужно, чтобы внутри подматрицы (n+1)x(n+1) стояли квадраты попарных расстояний между точками в R^n. Плюс, матрица у нас порядка (n+2), то есть явно, что работать нужно в R^{n+2}.

Давайте посмотрим, а как эти квадраты расстояний через собственно координаты выражаются. Если у нас есть два вектора u и v, то
|u-v|^2 = <u-v,u-v> = |u|^2 + |v|^2 - 2 <u,v>
(можно сказать, что я записал банальную теорему косинусов).

А нельзя ли сделать из этого просто "скалярное произведение", только в R^{n+2}, и каких-то новых точек? Можно!
Запишем нужное нам выражение как
|u|^2 * 1 + 1* |v|^2 - 2<u,v>.

А теперь любому вектору u из R^n сопоставим вектор в R^{n+2}, дописав к нему в начало не только 1 (как мы уже делали раньше), но и квадрат его длины:
u':=(1 , |u|^2 , u)

Тогда квадрат расстояния получается, как вычисление на u' и v' билинейной (и уже не положительно-определённой) формы D такого вида: перемножаем крест-накрест первые две координаты, и вычитаем удвоенное скалярное произведение остальных.
Вот её матрица:

У нас сейчас получился набор из (n+1) вектора в (n+2)-мерном пространстве, у которых все координаты, кроме второй, какие нужно, а вторую мы совсем не контролируем. Ну так добавим к этому набору (первым) вектор (0 1 0 0 ... 0). Тогда определитель из таких (n+2) векторов будет таким же, как определитель из (n+1) исходного вектора в (n+1)-мерном — который как раз равнялся (n! V).

Соберём из этих (n+2) векторов матрицу M и посмотрим на их матрицу Грама относительно билинейной формы D — иными словами, на
G = M^* D M.
Во-первых, это в точности та матрица, которая появляется на доске:
* D-скалярный квадрат (0 1 0000) равен нулю, потому что тут вторая координата вектора умножается на первую, а она равна 0
* его D-скалярное произведение с любым другим вектором набора равно 1, потому что у них у всех на первом месте стоит 1
* D-скалярные произведения остальных векторов друг с другом равны квадратам расстояний между вершинами симплекса — мы так наши вектора и произведение D строили.

С другой стороны, как и для обычной матрицы Грама, определитель G содержит квадрат определителя M — только в этот раз умноженный на det D:

И вот (-1)^{n+1} и 2^n из формулы и появились — это определитель D. А раз мы уже знаем, что det M = n! V, то всё, формула Кэли-Менгера доказана. Ура!

В качестве затравки к следующей байке — задача:

Задача честная — делается без калькулятора (а решение можно рассказать вообще без бумаги).

Ещё одно начало истории: вот многим наверняка знакома классическая скатерть Улама. А именно — выписываем натуральные числа по спирали: