Но только пока получилось не совсем то, что надо: у матрицы Грама по диагонали стоят квадраты длин векторов, а вне диагонали скалярные произведения, а нам нужно, чтобы внутри подматрицы (n+1)x(n+1) стояли квадраты попарных расстояний между точками в R^n. Плюс, матрица у нас порядка (n+2), то есть явно, что работать нужно в R^{n+2}.

Давайте посмотрим, а как эти квадраты расстояний через собственно координаты выражаются. Если у нас есть два вектора u и v, то
|u-v|^2 = <u-v,u-v> = |u|^2 + |v|^2 - 2 <u,v>
(можно сказать, что я записал банальную теорему косинусов).

А нельзя ли сделать из этого просто "скалярное произведение", только в R^{n+2}, и каких-то новых точек? Можно!
Запишем нужное нам выражение как
|u|^2 * 1 + 1* |v|^2 - 2<u,v>.

А теперь любому вектору u из R^n сопоставим вектор в R^{n+2}, дописав к нему в начало не только 1 (как мы уже делали раньше), но и квадрат его длины:
u':=(1 , |u|^2 , u)

Тогда квадрат расстояния получается, как вычисление на u' и v' билинейной (и уже не положительно-определённой) формы D такого вида: перемножаем крест-накрест первые две координаты, и вычитаем удвоенное скалярное произведение остальных.
Вот её матрица:

У нас сейчас получился набор из (n+1) вектора в (n+2)-мерном пространстве, у которых все координаты, кроме второй, какие нужно, а вторую мы совсем не контролируем. Ну так добавим к этому набору (первым) вектор (0 1 0 0 ... 0). Тогда определитель из таких (n+2) векторов будет таким же, как определитель из (n+1) исходного вектора в (n+1)-мерном — который как раз равнялся (n! V).

Соберём из этих (n+2) векторов матрицу M и посмотрим на их матрицу Грама относительно билинейной формы D — иными словами, на
G = M^* D M.
Во-первых, это в точности та матрица, которая появляется на доске:
* D-скалярный квадрат (0 1 0000) равен нулю, потому что тут вторая координата вектора умножается на первую, а она равна 0
* его D-скалярное произведение с любым другим вектором набора равно 1, потому что у них у всех на первом месте стоит 1
* D-скалярные произведения остальных векторов друг с другом равны квадратам расстояний между вершинами симплекса — мы так наши вектора и произведение D строили.

С другой стороны, как и для обычной матрицы Грама, определитель G содержит квадрат определителя M — только в этот раз умноженный на det D:

И вот (-1)^{n+1} и 2^n из формулы и появились — это определитель D. А раз мы уже знаем, что det M = n! V, то всё, формула Кэли-Менгера доказана. Ура!

В качестве затравки к следующей байке — задача:

Задача честная — делается без калькулятора (а решение можно рассказать вообще без бумаги).

Ещё одно начало истории: вот многим наверняка знакома классическая скатерть Улама. А именно — выписываем натуральные числа по спирали:

И закрашиваем в этой спирали простые числа:

Оказывается, что они часто выстраиваются вдоль диагоналей; вот скатерть Улама в квадрате 200x200 — https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ulam_1.png

А вот фотография скатерти Улама из столовой МЦНМО/НМУ (спасибо Г. Мерзону за фотографии!) —