в качестве картинки перед новым учебным годом: таблица умножения (via https://vk.com/msu_mechmath)

«Вплоть до конца XVII века на Руси использовалась буквенная система записи цифр. Осуществлять сложные математические расчеты при помощи такой системы было невозможно, но для простых арифметических действий она вполне подходила, что и демонстрирует таблица умножения из рукописи XVII в.»

На эту таблицу умножения и впрямь интересно посмотреть.
Во-первых, она начинается с квадратов.
Во-вторых, произведения там только в порядке "большее на меньшее"
В-третьих, и это самое интересное: уже в столбце квадратов мы читаем Д*Д=SI

Так вот — SI это "шестнадцать", но первая цифра тут "шесть", а вторая "десять".
То есть и впрямь буквально "шестнадцать".
Ну и, например, З*В=ВI, "двенадцать".
А вот З*Г=КА, "двадцать один", и порядок возвращается к обычному для позиционной записи.

===
Сегодняшняя байка — в начальной части скорее широко известная, а в заключительной скорее менее.

Если завращать гиперболу вокруг той её оси симметрии, которая её не пересекает, то получится однополостный гиперболоид. Например, если гипербола задавалась уравнением x^2-z^2=1, и вращаем вокруг оси Oz, то получится поверхность x^2+y^2-z^2=1.

И на этой поверхности есть два семейства прямых.
Больше ста лет назад инженер Владимир Григорьевич Шухов придумал красивую идею: пусть мы хотим построить башню, от которой нам нужна высота, но совершенно не обязательно, чтобы там было что-нибудь внутри.

Например, водонапорная башня, или башня маяка.
Тогда такую башню можно собрать в виде ажурного гиперболоида — из прямых и скрепляющих их окружностей. И то, и другое (относительно) просто делается и собирается.

На сайте Математических Этюдов есть рассказ об этом,
http://www.etudes.ru/ru/etudes/shukhov-tower/ ,
который я очень советую — в том числе из-за исторических фотографий. Вот одна из них, водонапорной башни на выставке 1896 года:

Вообще, гиперболических башен построили довольно много; я позволю себе ещё чуть-чуть процитировать сайт Этюдов —

Есть, скажем, гиперболическая обзорная башня в Кобе в Японии —

Но — самое знаменитое применение этой идеи это Шуховская (радио)башня высотой 150 метров. И тут возникает красивое развитие этой идеи — не надо строить высокие леса: можно собрать башню из гиперболических колец.

Сначала собирается первое. Потом внутри него собирается другое, и "за низ", через блоки наверху первого кольца, поднимается и пристыковывается к верху первого. Потом внутри собирается третье кольцо, и через блоки-"двуноги", которые уже есть наверху второго кольца, поднимается наверх и оно.

Иллюстрации с "Этюдов" —

Учитывая, что строили её в 1919-1922 годах; сразу после первой мировой войны и революции, и при идущей гражданской — кажется, без этих идей построить башню такой высоты просто бы не получилось.

Так вот — давайте вернёмся к математике (а я ещё раз посоветую посмотреть страницу Этюдов об Шуховской башне, там есть ещё нетривиальные подробности).

Я начал с того, что на однополостном гиперболоиде есть два семейства прямых. А откуда мы знаем, что они там есть?

Как это ни смешно, если мы мотивируем этот вопрос именно ажурной башней, то от него можно попробовать "отбиться", сказав, что нам не так важно, чтобы поверхность была именно тем самым однополостным гиперболоидом, задающимся уравнением второго порядка. Важно лишь, чтобы это была поверхность вращения, на которой были бы два семейства пересекающихся прямых. Тогда мы соберём именно эту сетку из металлических брусьев — и скрепим их вдоль окружностей. А уж каким именно уравнением поверхность будет задаваться, это дело десятое. (Что, конечно, не совсем правда — нагрузки инженерам всё равно рассчитывать надо — но на нашем уровне аккуратности...)

Но такую поверхность можно получить, завращав вокруг (вертикальной) оси Oz любую скрещивающуюся с ней прямую L. Одно семейство прямых получится просто из образов L при вращении — а второе при его симметрии относительно любой плоскости, проходящей через ось Oz. Действительно, горизонтальные окружности, заметаемые точками L при вращении, такая симметрия сохраняет — а значит, сохраняет и всю поверхность, и образ семейства прямых это другое семейство прямых.

Кстати, с этим же связана выносящая мозг иллюстрация, когда прямой стержень вращается, проезжая через кривую -- гиперболическую -- прорезь:
https://youtu.be/N2exQpSuwi0?t=830

Но предположим, что мы хотим это знать именно про однополостный гиперболоид. Можно, например, взять уравнение гиперболоида выше, чуть-чуть его переписать, перенеся x^2 в правую часть —
y^2-z^2=1-x^2,
и сразу увидеть на нём две прямые, проходящие через "самую простую" точку (1,0,0):
x=1, y=±z.
Завращав их, получим оба семейства прямых. А нельзя ли обойтись без вращения?

И хорошо бы иметь рассуждение, применимое ко всем гиперболоидам — иначе нужно будет говорить слова "аффинное преобразование", переводить любой однополостный гиперболоид в канонический, и как-то это грустно...

И тут есть рассуждение, которое пусть и не совсем строгое, но мне очень нравится: оно объясняет, что "иначе быть не может".
Давайте возьмём любую точку A — и проведём в ней касательную плоскость к гиперболоиду. Посмотрим, по какому множеству она его пересекает.
Для этого выберем на плоскости систему координат (s,t), выразим через них исходные координаты (x,y,z), и подставим результат в уравнение гиперболоида P(x,y,z)=0 — которое есть уравнение второй степени.
Естественно, систему координат на касательной плоскости мы выберем так, чтобы начальная точка A имела координаты (0,0).
Что за уравнение Q(s,t)=0 у нас получится?
Во-первых, оно второй степени. Во-вторых, Q(0,0)=0, потому что точка A была на гиперболоиде. В-третьих, линейных членов там тоже нет — потому что мы на касательной плоскости. Значит, Q(s,t) — это однородный многочлен второй степени.