Такой путь по серединам рёбер есть и на правильном додекаэдре — и вот тут можно его появление увидеть (там 20 секунд после временной отметки, и да, я очень советую это посмотреть):
https://www.youtube.com/watch?v=E15KN8_hpcE&feature=youtu.be&t=4611

Тут резинка идёт по серединам рёбер (так что эта геодезическая аналогична правильному шестиугольнику на кубе) — и этот замкнутый путь можно увидеть на не совсем обычной развёртке додекаэдра:

Интересно, что этот путь тут такой не один — а есть целый "цилиндр" параллельных замкнутых геодезических:

И на границе мы попадаем в вершину — но не в одну, а сразу в пять, так что из сдвига такого пути "до упора" пример построить не получится.

А вот можно ли устроить "кругосветное путешествие" из вершины в неё же по геодезической — без захода в другие вершины?
Из вариантов фабулы — многогранник это планета Маленького принца, где в одной из вершин живёт барашек, а в остальных посажены розы — так что нужно, чтобы траектория прямого бега барашка не попадала в розы. Или — в вершинах стоят дома математиков, и один из них выходит на утреннюю пробежку (не проснувшись и потому строго по прямой) — и, конечно, не хочет вламываться в чужие дома (а по нынешним временам можно говорить, что соблюдает дистанцию).

То, что нельзя на тетраэдре, кубе, октаэдре, икосаэдре — уже было известно. И это работы Davis, Dods, Traub, Yang (https://arxiv.org/abs/1508.03546 ) для тетраэдра и куба и Д. Фукса (http://armj.math.stonybrook.edu/pdf-Springer-final/016-0040.pdf ) для октаэдра и икосаэдра.

Кстати — если помните "Математический дивертисмент" Табачникова и Фукса, то Фукс — тот самый (и учебник по гомотопической топологии с Фоменко это он же),
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BA%D1%81,_%D0%94%D0%BC%D0%B8%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%91%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87

Давайте продолжим?
Да, обе фабулы выше (утренняя пробежка и Маленький принц) я взял из вот этого видео Numberphile — https://youtu.be/G9_l8QASobI?t=153 ; а вот пара скриншотов оттуда:

Так вот — история состоит в том, что на додекаэдре такое кругосветное путешествие из вершины в себя без захода в другие вершины оказывается возможным. И J. Athreya, D. Aulicino и P. W. Hooper не только нашли одну такую траекторию — но и расклассифицировали их все (а их оказывается бесконечное число).

Вот самая простая такая траектория:

Это не совсем стандартная развёртка, зато на ней траектория состоит из одного отрезка. Можно её нарисовать и на стандартной развёртке — тогда будет два отрезка:

(Image credit: J. Athreya, D. Aulicino, P. W. Hooper, Platonic solids and high genus covers of lattice surfaces, Experimental Mathematics )

Да, это бесконечное количество траекторий делится на 31 "класс эквивалентности" — и вот тут (http://userhome.brooklyn.cuny.edu/aulicino/dodecahedron/join_closed_sc_figs.pdf ) они собрали представителей всех этих классов. Так что можно распечатывать, вырезать и склеивать 🙂

Ещё два примера из той же статьи (да, если что, на arXiv-е есть соответствующий препринт, https://arxiv.org/abs/1811.04131 ) —

Но давайте я до рассказа про классификацию скажу, почему таких траекторий нет на остальных платоновых телах. Самый простой случай это тетраэдр.