Написал (https://nplus1.ru/material/2020/09/24/dodecahedron ) про недавние работы J. Athreya, D. Aulicino и P. W. Hooper о замкнутых геодезических "из вершины в себя" на додекаэдре — https://arxiv.org/abs/1802.00811 + https://arxiv.org/abs/1811.04131

Довольно понятно, что такое геодезическая — локально кратчайшая линия, или, что то же самое, линия, идущая по прямой на каждой грани, а при переходе через ребро продолжающаяся так, чтобы на развёртке, где эти две грани развёрнуты на плоскость, выглядеть прямой:

Ну и тут можно вспомнить задачу — кажется, из Гарднера? — про то, как мухе проползти по кубу по кратчайшему пути из вершины в диаметрально противоположную, и какой длины будет этот путь.

А вот за вершину (если она в неё попадает) геодезическую продолжить нельзя — точно так же, как с траекториями в бильярде внутри многоугольника. Собственно, геодезические на многогранниках и бильярды в многоугольниках — исключительно близкие сюжеты.

Так вот — вопрос был такой: а есть ли на каком-нибудь правильном многограннике "кругосветная" геодезическая, которая начинается и заканчивается в одной и той же вершине?

Если бы речь шла просто о замкнутой геодезической, не заходящей в вершины вообще, то нет ничего легче. Скажем, квадратное сечение куба плоскостью, параллельной его грани. Или — что чуть интереснее — правильный шестиугольник, проходящий по серединам рёбер, который на нём высекает серединный перпендикуляр к одной из его пространственных диагоналей.

Такой путь по серединам рёбер есть и на правильном додекаэдре — и вот тут можно его появление увидеть (там 20 секунд после временной отметки, и да, я очень советую это посмотреть):
https://www.youtube.com/watch?v=E15KN8_hpcE&feature=youtu.be&t=4611

Тут резинка идёт по серединам рёбер (так что эта геодезическая аналогична правильному шестиугольнику на кубе) — и этот замкнутый путь можно увидеть на не совсем обычной развёртке додекаэдра:

Интересно, что этот путь тут такой не один — а есть целый "цилиндр" параллельных замкнутых геодезических:

И на границе мы попадаем в вершину — но не в одну, а сразу в пять, так что из сдвига такого пути "до упора" пример построить не получится.

А вот можно ли устроить "кругосветное путешествие" из вершины в неё же по геодезической — без захода в другие вершины?
Из вариантов фабулы — многогранник это планета Маленького принца, где в одной из вершин живёт барашек, а в остальных посажены розы — так что нужно, чтобы траектория прямого бега барашка не попадала в розы. Или — в вершинах стоят дома математиков, и один из них выходит на утреннюю пробежку (не проснувшись и потому строго по прямой) — и, конечно, не хочет вламываться в чужие дома (а по нынешним временам можно говорить, что соблюдает дистанцию).

То, что нельзя на тетраэдре, кубе, октаэдре, икосаэдре — уже было известно. И это работы Davis, Dods, Traub, Yang (https://arxiv.org/abs/1508.03546 ) для тетраэдра и куба и Д. Фукса (http://armj.math.stonybrook.edu/pdf-Springer-final/016-0040.pdf ) для октаэдра и икосаэдра.

Кстати — если помните "Математический дивертисмент" Табачникова и Фукса, то Фукс — тот самый (и учебник по гомотопической топологии с Фоменко это он же),
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1%83%D0%BA%D1%81,_%D0%94%D0%BC%D0%B8%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%91%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%81%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87

Давайте продолжим?
Да, обе фабулы выше (утренняя пробежка и Маленький принц) я взял из вот этого видео Numberphile — https://youtu.be/G9_l8QASobI?t=153 ; а вот пара скриншотов оттуда:

Так вот — история состоит в том, что на додекаэдре такое кругосветное путешествие из вершины в себя без захода в другие вершины оказывается возможным. И J. Athreya, D. Aulicino и P. W. Hooper не только нашли одну такую траекторию — но и расклассифицировали их все (а их оказывается бесконечное число).

Вот самая простая такая траектория: