В каждом из этих случаев (середина ребра тетраэдра, середина ребра или грани куба) мы получаем движение многогранника, которое сохраняет точку C' и переводит отрезок траектории рядом с ней в себя. А значит, эта симметрия переводит в себя и всю траекторию.

В частности, она меняет местами её начальную и конечную вершину. Но у каждой из этих центральных симметрий нет вершин, которые она бы могла сохранить: неподвижные точки у осевой симметрии это только точки на оси, а ни одна из упомянутых осей через вершины не проходит. Поэтому начальная и конечная вершины траектории совпадать не могут.
Ура, победа!

(И мне это рассуждение очень нравится, оно очень изящное.)

А вот работа с додекаэдром оказалась связанной с теорией очень плоских (или трансляционных ) поверхностей. Такая поверхность получается так: берём один или несколько многоугольников на плоскости, у которых в сумме чётное число сторон. И предположим, что эти стороны разбиты на пары, совмещаемые параллельными переносами (отсюда название "трансляционные"), причём многоугольники при таком совмещении оказываются по разные стороны от этих сторон. Тогда — склеим все эти пары. Получится поверхность, и она действительно "плоская" — кроме вершин.
А вот в вершинах могут собираться "конические особенности" (только с углом больше, а не меньше 2π, как в привычном нам конусе). Скажем, если такую процедуру проделать с восьмиугольником, то все 8 вершин в результате склейки станут одной и той же вершиной, а полный угол в ней будет 8*(3π/4) = 6π.

Собственно, самый простой пример такой поверхности — это тор, склеенный из квадрата или прямоугольника (или даже из параллелограмма); собственно, в старых видеоиграх часто персонажи, уходящие за один край экрана, тотчас же возвращались через другой:

Продолжим?
Собственно, в прошлый раз я остановился на самом интересном месте — на том, что остался додекаэдр, на котором "кругосветные путешествия" из вершины в себя таки есть. А как их искать и описывать, и при чём тут трансляционные поверхности?

Вообще, трансляционные поверхности возникают и в этой задаче, и в бильярдах в многоугольниках, из одного и того же рассуждения. Когда мы запускаем траекторию по многограннику — мы можем "прокатывать" вдоль неё многогранник, получая прямую на плоскости и приставленные друг к другу "отпечатки" граней. Когда мы запускаем бильярдную траекторию в многоугольнике — её тоже можно сделать прямой, достраивая отражением за каждой гранью.

Скажем, вот траектория бильярда в равнобедренном прямоугольном треугольнике, выходящая из одной вершины и попадающая в другую (спасибо М. Панову за изображения!) :

А вот она же, но после многих достраиваний отражённых областей:

Так вот: давайте строить все вообще "отпечатки", перекатывая многогранник всеми возможными способами. Или для бильярда — брать вообще все возможные композиции отражений исходной области.

Понятно, что их будет бесконечно много, они будут накладываться друг на друга, и вообще получающийся объект будет ужасен. Но.

Если вдруг какие-то две области отличаются на параллельный перенос — так отождествим их! Потому что, кроме этого параллельного переноса, их ничего не отличает друг от друга, и всё, что мы можем получить из одной, мы (летя вдоль параллельно перенесённого луча) получим и из другой.

Так вот — если все углы у нас были соизмеримы с π (во всех гранях многогранника или в многоугольнике, где у нас бильярд) — то после такого отождествления останется лишь конечное число областей.

А это и есть трансляционная (или "очень плоская") поверхность.

В качестве паузы — видео (тоже спасибо М. Панову!) более сложной траектории бильярда, тоже в равнобедренном прямоугольном треугольнике:

Правда, красиво?

Так вот — из правильных многогранников и из бильярдов в "рациональных" (все углы вида (p/q)π) многоугольниках мы научились получать трансляционные поверхности. Например, из бильярда в треугольнике с углами π/8, 3π/8, π/2 получится восьмиугольник со склеенными противоположными сторонами.

А вот скриншот из видеозаписи лекции Антона Зорича на летней школе "Алгебра и геометрия" в Ярославле в 2013 году,
http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=9994 , где Антон как раз эту задачу разбирает:

(Да, если что, эту и следующую лекции — http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=9998 — я очень советую, так же, как и лекцию Антона на Глобусе: http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?presentid=15424 )