Продолжим?
Собственно, в прошлый раз я остановился на самом интересном месте — на том, что остался додекаэдр, на котором "кругосветные путешествия" из вершины в себя таки есть. А как их искать и описывать, и при чём тут трансляционные поверхности?

Вообще, трансляционные поверхности возникают и в этой задаче, и в бильярдах в многоугольниках, из одного и того же рассуждения. Когда мы запускаем траекторию по многограннику — мы можем "прокатывать" вдоль неё многогранник, получая прямую на плоскости и приставленные друг к другу "отпечатки" граней. Когда мы запускаем бильярдную траекторию в многоугольнике — её тоже можно сделать прямой, достраивая отражением за каждой гранью.

Скажем, вот траектория бильярда в равнобедренном прямоугольном треугольнике, выходящая из одной вершины и попадающая в другую (спасибо М. Панову за изображения!) :

А вот она же, но после многих достраиваний отражённых областей:

Так вот: давайте строить все вообще "отпечатки", перекатывая многогранник всеми возможными способами. Или для бильярда — брать вообще все возможные композиции отражений исходной области.

Понятно, что их будет бесконечно много, они будут накладываться друг на друга, и вообще получающийся объект будет ужасен. Но.

Если вдруг какие-то две области отличаются на параллельный перенос — так отождествим их! Потому что, кроме этого параллельного переноса, их ничего не отличает друг от друга, и всё, что мы можем получить из одной, мы (летя вдоль параллельно перенесённого луча) получим и из другой.

Так вот — если все углы у нас были соизмеримы с π (во всех гранях многогранника или в многоугольнике, где у нас бильярд) — то после такого отождествления останется лишь конечное число областей.

А это и есть трансляционная (или "очень плоская") поверхность.

В качестве паузы — видео (тоже спасибо М. Панову!) более сложной траектории бильярда, тоже в равнобедренном прямоугольном треугольнике:

Правда, красиво?

Так вот — из правильных многогранников и из бильярдов в "рациональных" (все углы вида (p/q)π) многоугольниках мы научились получать трансляционные поверхности. Например, из бильярда в треугольнике с углами π/8, 3π/8, π/2 получится восьмиугольник со склеенными противоположными сторонами.

А вот скриншот из видеозаписи лекции Антона Зорича на летней школе "Алгебра и геометрия" в Ярославле в 2013 году,
http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=9994 , где Антон как раз эту задачу разбирает:

(Да, если что, эту и следующую лекции — http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=9998 — я очень советую, так же, как и лекцию Антона на Глобусе: http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?presentid=15424 )

Кстати — очень хорошее упражнение это понять, что при такой склейке сторон из восьмиугольника получается сфера с двумя ручками (а все восемь его вершин становятся одной и той же, в которую "собирается" полный угол в аж 6π).

Если возвращаться к додекаэдру — то, чтобы описать пути на нём, нам понадобится отпечатать каждую грань (а мы должны помнить, какая именно грань отпечатывается, чтобы знать, какие вершины будем соединять, и отождествлять только сдвиги одной и той же грани) каждым из 10 способов — потому что "прокатывание" додекаэдра вокруг вершины поворачивает его на π/5 = (1/10) от полного оборота.

Получается конструкция из 10*12=120 пятиугольников; на самом деле, конечно, можно их объединить в 10 развёрток (как раз каждая грань появляется по одному разу), поворачиваемых друг относительно друга на (1/10) оборота:

(Image credit: J. Athreya, D. Aulicino, P. W. Hooper)

Казалось бы, совершенно жуткий объект. Но! На нём теперь нас интересуют просто прямые (ну, разве что при выходе через одну сторону они "влетают" через другую; собственно, на полной картинке — см. https://arxiv.org/pdf/1811.04131.pdf , с. 9 — отождествляемые стороны подписаны, но этих подписей так много, что без них картинка выглядит красивее).