Казалось бы, если мы подействуем "сильно нетривиальным" аффинным преобразованием — скажем, сожмём всю картинку по оси ординат в 100 раз и растянем в те же 100 раз по оси абсцисс — то из всех пятиугольников получатся этакие "медузы". Но. "Развёртка" у плоской поверхности не единственная — можно где-нибудь разрезать (создав этим новую пару отождествляемых сторон), перенести кусочки, приставить по отождествляемым сторонам и склеить. И "часто" из "сильно сплющенной" картинки можно восстановить опять "разумно выглядящую".

Более того, можно пытаться так делать, сокращая геодезическую (сжимая в её направлении и растягивая в перпендикулярном, чтобы площадь не менять).

Например:
Теорема. На склеенном из квадрата торе любую замкнутую геодезическую можно правильным аффинным преобразованием превратить в просто идущую вдоль ребра, а тор останется таким же, каким был.

Пример, он же начало доказательства —

Была (слева) чёрная геодезическая. Тор "накренили" преобразованием (x,y)->(x+y,y). После этого разрезали по красному пунктиру.

Получили два треугольника — параллельно перенесли правый, приставив одну зелёную сторону к другой. Получили опять тор, склеенный из квадрата — но геодезическая уже стала проще.

Точнее, тут она совсем упростилась — до искомого "идёт вдоль ребра". А если бы была какая-то более сложная геодезическая, то у неё был бы наклон p/q, под которым она шла, и на квадратной решётке она смещалась бы за свой период на q по оси Ox и на p по оси Oy. Ну так мы применим алгоритм Евклида — как раз преобразования
(x,y)->(x ± y, y) и (x,y)->(x, y ± x)
позволяют вычесть p из q или q из p.

Так вот — возьмём ту поверхность, которая получается из додекаэдра. Из неё можно сделать гораздо более простую поверхность "двойного пятиугольника" П_5:

А именно — просто отправим все пятиугольники вершиной вверх в пятиугольник вершиной вверх тут, а вершиной вниз — в пятиугольник вершиной вниз тут. Получится разветвлённое (в вершинах) накрытие — но главное, что отображение состоит из параллельных переносов, так что оно "уважает" траектории.

Вот траектория из вершины в (другую) вершину на одной развёртке додекаэдра — и её образ, траектория из вершины в вершину на П_5:

Так вот — оказывается, что если смотреть только на П_5, то есть аналогичная теорема: все траектории "из вершины в вершину" можно аффинным преобразованием, переводящим П_5 в себя, перевести в одну из двух траекторий: либо вдоль ребра пятиугольника, либо вдоль диагонали:

(Причём та, что вдоль ребра, нам на самом деле не подходит — из-за рассуждений с центральной симметрией, очень похожих на те, что уже были для всех остальных платоновых тел.)

Так вот — если у нас есть преобразование "внизу", на П_5, оно вовсе не обязательно приходит "сверху", из преобразования всей огромной поверхности. В качестве аналогичного примера — на тор, склеенный из одного квадрата, можно подействовать любым преобразованием из SL(2,Z), и он перейдёт в себя. А вот поверхность, склеенную из нескольких квадратиков (с каким-то отождествлением пар параллельных сторон), такое преобразование вовсе не обязательно переведёт в себя. И вот пример — опять из лекции Антона:

Справа отождествление сторон уже не такое, как слева.

Но! Хоть "поднимается" и не всякое преобразование П_5 — те, которые поднимаются, в группе всех оказываются подгруппой конечного индекса.

И получается такая цепочка: геодезические из вершины в вершину на додекаэдре — приходят из прямых лучей из вершины в вершину на "огромной поверхности". Прямой луч там проецируется в прямой луч из вершину в вершину на П_5, и на самом П_5 его можно было бы упростить аффинным преобразованием до одного из двух (ребро или диагональ). Увы, можно упрощать только преобразованием "огромной поверхности". Но такие преобразования образуют подгруппу конечного индекса — поэтому получается упростить луч до одного из конечного множества!

Вывод — задача описания всех путей из вершины в вершину на додекаэдре сведена к конечному перебору. И ура!