(Да, если что, эту и следующую лекции — http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=9998 — я очень советую, так же, как и лекцию Антона на Глобусе: http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?presentid=15424 )

Кстати — очень хорошее упражнение это понять, что при такой склейке сторон из восьмиугольника получается сфера с двумя ручками (а все восемь его вершин становятся одной и той же, в которую "собирается" полный угол в аж 6π).

Если возвращаться к додекаэдру — то, чтобы описать пути на нём, нам понадобится отпечатать каждую грань (а мы должны помнить, какая именно грань отпечатывается, чтобы знать, какие вершины будем соединять, и отождествлять только сдвиги одной и той же грани) каждым из 10 способов — потому что "прокатывание" додекаэдра вокруг вершины поворачивает его на π/5 = (1/10) от полного оборота.

Получается конструкция из 10*12=120 пятиугольников; на самом деле, конечно, можно их объединить в 10 развёрток (как раз каждая грань появляется по одному разу), поворачиваемых друг относительно друга на (1/10) оборота:

(Image credit: J. Athreya, D. Aulicino, P. W. Hooper)

Казалось бы, совершенно жуткий объект. Но! На нём теперь нас интересуют просто прямые (ну, разве что при выходе через одну сторону они "влетают" через другую; собственно, на полной картинке — см. https://arxiv.org/pdf/1811.04131.pdf , с. 9 — отождествляемые стороны подписаны, но этих подписей так много, что без них картинка выглядит красивее).

А ещё работу с траекториями на нём можно упрощать. Дело в том, что нас сейчас интересуют прямые и параллельность, но не интересуют углы. Поэтому если мы возьмём всю эту картинку и подействуем на неё аффинным преобразованием — то траектории перейдут в траектории, правда, на уже новой трансляционной поверхности.

Казалось бы, если мы подействуем "сильно нетривиальным" аффинным преобразованием — скажем, сожмём всю картинку по оси ординат в 100 раз и растянем в те же 100 раз по оси абсцисс — то из всех пятиугольников получатся этакие "медузы". Но. "Развёртка" у плоской поверхности не единственная — можно где-нибудь разрезать (создав этим новую пару отождествляемых сторон), перенести кусочки, приставить по отождествляемым сторонам и склеить. И "часто" из "сильно сплющенной" картинки можно восстановить опять "разумно выглядящую".

Более того, можно пытаться так делать, сокращая геодезическую (сжимая в её направлении и растягивая в перпендикулярном, чтобы площадь не менять).

Например:
Теорема. На склеенном из квадрата торе любую замкнутую геодезическую можно правильным аффинным преобразованием превратить в просто идущую вдоль ребра, а тор останется таким же, каким был.

Пример, он же начало доказательства —

Была (слева) чёрная геодезическая. Тор "накренили" преобразованием (x,y)->(x+y,y). После этого разрезали по красному пунктиру.

Получили два треугольника — параллельно перенесли правый, приставив одну зелёную сторону к другой. Получили опять тор, склеенный из квадрата — но геодезическая уже стала проще.

Точнее, тут она совсем упростилась — до искомого "идёт вдоль ребра". А если бы была какая-то более сложная геодезическая, то у неё был бы наклон p/q, под которым она шла, и на квадратной решётке она смещалась бы за свой период на q по оси Ox и на p по оси Oy. Ну так мы применим алгоритм Евклида — как раз преобразования
(x,y)->(x ± y, y) и (x,y)->(x, y ± x)
позволяют вычесть p из q или q из p.

Так вот — возьмём ту поверхность, которая получается из додекаэдра. Из неё можно сделать гораздо более простую поверхность "двойного пятиугольника" П_5:

А именно — просто отправим все пятиугольники вершиной вверх в пятиугольник вершиной вверх тут, а вершиной вниз — в пятиугольник вершиной вниз тут. Получится разветвлённое (в вершинах) накрытие — но главное, что отображение состоит из параллельных переносов, так что оно "уважает" траектории.

Вот траектория из вершины в (другую) вершину на одной развёртке додекаэдра — и её образ, траектория из вершины в вершину на П_5:

Так вот — оказывается, что если смотреть только на П_5, то есть аналогичная теорема: все траектории "из вершины в вершину" можно аффинным преобразованием, переводящим П_5 в себя, перевести в одну из двух траекторий: либо вдоль ребра пятиугольника, либо вдоль диагонали: