И это в точности то же рассуждение, которое мы уже видели раньше — только там оно было для получающейся из правильного тетраэдра решётки из правильных треугольников.

И в статье Токарского именно из этого свойства доказывается, что источник света в одной точке не может осветить другую.

Собственно, вот кусочек с этой леммой —

(Image credit: G. Tokarsky, Polygonal Rooms Not Illuminable from Every Point, The American Mathematical Monthly )

А вся область состоит из отражений одного такого треугольника — причём точки A_0 и A_1 обе получаются из одного и того же острого угла:

(Image credit: G. Tokarsky, Polygonal Rooms Not Illuminable from Every Point, The American Mathematical Monthly )

Несложно видеть, что траектории из A_0 строго по горизонтали, вертикали или под 45 градусов сразу же утыкаются в вершины (и потому не продолжаются).
А все остальные траектории можно "уронить" на один треугольник ABC, отправив туда все треугольнички последовательностью отражений — и получить бильярдную траекторию. А мы уже знаем, что из вершины A в себя бильярдной траектории там нет.

А вот картинка освещения в такой же, но с меньшим числом сторон, области (правда, в ней может возникнуть желание сказать, что "а давайте разрешим прямому лучу A_0 A_1 пройти "вдоль стены"). И тут будут освещены все точки, кроме A_1:

(И ещё раз спасибо М. Панову за картинки!)

Напоследок — его же анимация, как лучи эту область заполняют:

Математика Безиковича — квадрат Канторовского множества, неопределённые повторные интегралы и красивые картинки (20Мб) http://mathcenter.spb.ru/nikaan/book/besicovitch_math.pdf

А ещё Безикович придумал стратегию, дающую удивительный ответ в одной задаче о преследовании. Если меня не подводит память — я это узнал из лекции Плахова на финале олимпиады Шарыгина в 2017-м ( http://geometry.ru/olimp/2017.php ).

Собственно, основной темой лекции тогда была задача Какейя о том, внутри фигуры какой наименьшей площади можно развернуть (на 180 градусов) отрезок-"иголку". С удивительным, полученным Безиковичем, ответом, что площадь такой фигуры может быть сколь угодно малой: см. http://kvant.mccme.ru/1973/04/o_vrashchenii_otrezka.htm . Собственно, в тексте по ссылке выше коллеги про это пишут.
А ещё есть видео Numberphile об этой конструкции — кстати, очень простой — https://youtu.be/j-dce6QmVAQ ; а ещё — см. вот эту задачу на Элементах: https://elementy.ru/problems/2353/Zadacha_ob_igolke (думаю, конструкция Безиковича как раз будет в послесловии).

Так вот — тот же самый Безикович получил удивительный ответ в задаче "о льве и человеке" (с аллюзией на римскую казнь): одна точка преследует другую в круге ("на арене"), причём скорости у них одинаковые, а вторая точка, естественно, пытается убежать. Одинаковые скорости это, конечно, спорное предположение, но допустим, что лев старый, а человек в отличной форме.

Интуитивно хочется сказать, что лучшее, что может сделать человек, это убежать по прямой от льва на границу круга, после чего бежать вдоль границы.

Но в этом случае лев его поймает.

Способ ловли за льва — занять положение на радиусе, утыкающемся в человека, и бежать к человеку так, чтобы это свойство сохранялось.

Тогда (пусть скорости и радиус окружности единичные), если лев на расстоянии r от центра, то на парирование движения человека "по углу" ему хватает скорости в r по нормали к радиусу. А значит, на движение к человеку остаётся \sqrt{1-r^2}.

Так что для расстояния r(t) от центра до льва получаем дифференциальное уравнение:
dr/dt= \sqrt{1-r^2(t)}.

А это уравнение приходит к единице за конечное время. В качестве рукомахательного объяснения — разница 1-r убывает со скоростью, примерно равной корню из себя (потому что (1-r^2)=(1-r)(1+r), то есть примерно 2(1-r)). А корень из маленькой величины её сильно больше.

Если на это смотреть более строго, но почти школьными методами — можно посмотреть, за какое время лев приблизится к человеку от расстояния 1/2^k до расстояния 1/2^{k+1}. Ему для этого нужно пройти расстояние порядка 1/2^k со скоростью 1/2^(k/2), значит, время будет тоже порядка 1/2^(k/2). А значит, сумма таких времён оценивается убывающей геометрической прогрессией — и потому сходится.

На самом деле, ещё этот диффур можно просто явно решить, не задумываясь применив общий метод решения одномерных автономных уравнений первого порядка: превратив dr/dt = f(r) в dr/f(r) = dt, проинтегрировав и получив выражение для времени t через неизвестную r, после чего его обратив и найдя r.

А ещё можно угадать решение r(t)=sin t (ну и все его сдвиги, sin (t+C), раз система автономная) 🙂
Которое, естественно, в единицу обращается в конечный момент времени.