(Image credit: G. Tokarsky, Polygonal Rooms Not Illuminable from Every Point, The American Mathematical Monthly )

Несложно видеть, что траектории из A_0 строго по горизонтали, вертикали или под 45 градусов сразу же утыкаются в вершины (и потому не продолжаются).
А все остальные траектории можно "уронить" на один треугольник ABC, отправив туда все треугольнички последовательностью отражений — и получить бильярдную траекторию. А мы уже знаем, что из вершины A в себя бильярдной траектории там нет.

А вот картинка освещения в такой же, но с меньшим числом сторон, области (правда, в ней может возникнуть желание сказать, что "а давайте разрешим прямому лучу A_0 A_1 пройти "вдоль стены"). И тут будут освещены все точки, кроме A_1:

(И ещё раз спасибо М. Панову за картинки!)

Напоследок — его же анимация, как лучи эту область заполняют:

Математика Безиковича — квадрат Канторовского множества, неопределённые повторные интегралы и красивые картинки (20Мб) http://mathcenter.spb.ru/nikaan/book/besicovitch_math.pdf

А ещё Безикович придумал стратегию, дающую удивительный ответ в одной задаче о преследовании. Если меня не подводит память — я это узнал из лекции Плахова на финале олимпиады Шарыгина в 2017-м ( http://geometry.ru/olimp/2017.php ).

Собственно, основной темой лекции тогда была задача Какейя о том, внутри фигуры какой наименьшей площади можно развернуть (на 180 градусов) отрезок-"иголку". С удивительным, полученным Безиковичем, ответом, что площадь такой фигуры может быть сколь угодно малой: см. http://kvant.mccme.ru/1973/04/o_vrashchenii_otrezka.htm . Собственно, в тексте по ссылке выше коллеги про это пишут.
А ещё есть видео Numberphile об этой конструкции — кстати, очень простой — https://youtu.be/j-dce6QmVAQ ; а ещё — см. вот эту задачу на Элементах: https://elementy.ru/problems/2353/Zadacha_ob_igolke (думаю, конструкция Безиковича как раз будет в послесловии).

Так вот — тот же самый Безикович получил удивительный ответ в задаче "о льве и человеке" (с аллюзией на римскую казнь): одна точка преследует другую в круге ("на арене"), причём скорости у них одинаковые, а вторая точка, естественно, пытается убежать. Одинаковые скорости это, конечно, спорное предположение, но допустим, что лев старый, а человек в отличной форме.

Интуитивно хочется сказать, что лучшее, что может сделать человек, это убежать по прямой от льва на границу круга, после чего бежать вдоль границы.

Но в этом случае лев его поймает.

Способ ловли за льва — занять положение на радиусе, утыкающемся в человека, и бежать к человеку так, чтобы это свойство сохранялось.

Тогда (пусть скорости и радиус окружности единичные), если лев на расстоянии r от центра, то на парирование движения человека "по углу" ему хватает скорости в r по нормали к радиусу. А значит, на движение к человеку остаётся \sqrt{1-r^2}.

Так что для расстояния r(t) от центра до льва получаем дифференциальное уравнение:
dr/dt= \sqrt{1-r^2(t)}.

А это уравнение приходит к единице за конечное время. В качестве рукомахательного объяснения — разница 1-r убывает со скоростью, примерно равной корню из себя (потому что (1-r^2)=(1-r)(1+r), то есть примерно 2(1-r)). А корень из маленькой величины её сильно больше.

Если на это смотреть более строго, но почти школьными методами — можно посмотреть, за какое время лев приблизится к человеку от расстояния 1/2^k до расстояния 1/2^{k+1}. Ему для этого нужно пройти расстояние порядка 1/2^k со скоростью 1/2^(k/2), значит, время будет тоже порядка 1/2^(k/2). А значит, сумма таких времён оценивается убывающей геометрической прогрессией — и потому сходится.

На самом деле, ещё этот диффур можно просто явно решить, не задумываясь применив общий метод решения одномерных автономных уравнений первого порядка: превратив dr/dt = f(r) в dr/f(r) = dt, проинтегрировав и получив выражение для времени t через неизвестную r, после чего его обратив и найдя r.

А ещё можно угадать решение r(t)=sin t (ну и все его сдвиги, sin (t+C), раз система автономная) 🙂
Которое, естественно, в единицу обращается в конечный момент времени.

И ещё кстати, диффур для уровня воды, вытекающей из ванной, когда из неё достали пробку, такой же —
h'= – const* \sqrt{h}.
И его решение тоже уходит в 0 за конечное время. Но это я отклонился в сторону.

Ну так вот — можно было бы предположить, что раз человек так ото льва не ушёл, он и вовсе не уйдет.

Ан нет! Безикович показал, что всё не так — что человек может убегать ото льва в круге неограниченно долго.

Более того — оказывается, что алгоритм убегания для человека очень простой. Он состоит из бесконечного числа шагов следующего вида:

Шаг номер n
- провести прямую через себя и центр арены, посмотреть, по какую сторону от неё находится лев

- пробежать расстояние L_n перпендикулярно этой прямой в ту полуплоскость, где льва нет

(Мы тут предполагаем, что человек начинает не на границе — иначе пусть он сделает хотя бы один шаг внутрь, а потом уже запускает алгоритм.)

Тогда:

1) очевидно, что пока человек может делать эти шаги, лев его не поймает.
Потому что в проекции на направление, куда бежит человек, лев от него отстаёт (ну или хотя бы не нагоняет): проекция льва движется со скоростью, не большей 1, поскольку это проекция единичного вектора скорости.

2) Чтобы человек мог делать такие шаги неограниченно долго, нужно, чтобы сумма ряда \sum L_n расходилась.

(Иначе это к Зенону 🙂 )

3) За один шаг квадрат расстояния до центра возрастает на L_n^2.
(ибо теорема Пифагора: начинает бежать человек перпендикулярно радиусу)

Значит, нужно, чтобы сумма \sum L_n^2 сходилась — и её сумма, плюс квадрат начального радиуса, был бы меньше 1 (ну или квадрата радиуса арены).