Кстати, с этим же связана выносящая мозг иллюстрация, когда прямой стержень вращается, проезжая через кривую -- гиперболическую -- прорезь:
https://youtu.be/N2exQpSuwi0?t=830

Но предположим, что мы хотим это знать именно про однополостный гиперболоид. Можно, например, взять уравнение гиперболоида выше, чуть-чуть его переписать, перенеся x^2 в правую часть —
y^2-z^2=1-x^2,
и сразу увидеть на нём две прямые, проходящие через "самую простую" точку (1,0,0):
x=1, y=±z.
Завращав их, получим оба семейства прямых. А нельзя ли обойтись без вращения?

И хорошо бы иметь рассуждение, применимое ко всем гиперболоидам — иначе нужно будет говорить слова "аффинное преобразование", переводить любой однополостный гиперболоид в канонический, и как-то это грустно...

И тут есть рассуждение, которое пусть и не совсем строгое, но мне очень нравится: оно объясняет, что "иначе быть не может".
Давайте возьмём любую точку A — и проведём в ней касательную плоскость к гиперболоиду. Посмотрим, по какому множеству она его пересекает.
Для этого выберем на плоскости систему координат (s,t), выразим через них исходные координаты (x,y,z), и подставим результат в уравнение гиперболоида P(x,y,z)=0 — которое есть уравнение второй степени.
Естественно, систему координат на касательной плоскости мы выберем так, чтобы начальная точка A имела координаты (0,0).
Что за уравнение Q(s,t)=0 у нас получится?
Во-первых, оно второй степени. Во-вторых, Q(0,0)=0, потому что точка A была на гиперболоиде. В-третьих, линейных членов там тоже нет — потому что мы на касательной плоскости. Значит, Q(s,t) — это однородный многочлен второй степени.

Если он невырожденный (что ещё нужно обосновывать), то с точностью до замены координат это либо сумма квадратов, либо разность. Если сумма квадратов, то пересечение гиперболоида с касательной плоскостью состояло бы только из одно точки A. А чисто геометрически гиперболоид выгнут "в разные стороны", так что ещё пересечения должны быть. "Значит" (кавычки, потому что "под ковёр" заметается слон упитанности большей, чем обычно), это разность квадратов — а тогда она и задаёт две пересекающиеся прямые. Которые лежат в исходном гиперболоиде, ибо это было пересечение с ним!

То есть а) через любую точку гиперболоида проходят две пересекающиеся прямые и
б) у этих прямых есть хорошее геометрическое описание — их высекает проведённая в этой точке касательная плоскость. (Что, постфактум, совершенно очевидно, но то постфактум.)

Ну и, если вспомнить, что сумма квадратов s^2+t^2=0 тоже задаёт две пересекающиеся прямые, только мнимые, s=±it, то можно добавить, что на (комплексифицированной) сфере x^2+y^2+z^2=1 тоже есть прямые, только мнимые, и искать их можно точно так же — пересечением с касательной плоскостью.

В качестве ответвления — как раз наличие прямых на поверхностях второго порядка играет в сведении (преобразованиями Чирнгауз[ен]а) любого уравнения пятой степени к уравнению вида y^5+ay+1=0. После чего можно говорить, что "его решение это просто ещё одна функция от одной переменной a, и чем она хуже, чем степени, радикалы, или синус с тангенсом, кроме как исторически?". (И именно поэтому в формулировке 13-й проблемы Гильберта отдельно оговаривались многочлены именно седьмой степени — это первая степень, где оставалось три свободных параметра.)

Но это история не на сейчас... :)

Раз я в прошлый раз прервался на преобразованиях Чирнгаузена — может быть, это стоит рассказать: кажется, вот это знают не все. Правда, сначала будет более общеизвестное предисловие.

Есть несколько стандартных способов решать кубические уравнения. Самый, пожалуй, известный, это сначала сдвигом переменной привести его к виду x^3+px+q=0, после чего заметить, что выражение
x^3+y^3+z^3-3xyz
раскладывается на множители, одним из которых будет (x+y+z).
Остаётся найти такие y и z, чтобы p=-3yz и q=y^3+z^3, а это (по теореме Виета) превращается в квадратное уравнение с корнями y^3 и z^3.

Чуть менее известный, но глобально чуть более "правильный", связан с теорией Галуа.

Любой симметрический многочлен выражается через элементарные симметрические. Поэтому любой симметрический многочлен от корней полинома выражается через его коэффициенты. Так мы решаем квадратное уравнение — сумма корней x_1+x_2 уже симметрическая, а разность x_1-x_2 при их перестановке меняет знак, так что (x_1-x_2)^2 тоже выражается через коэффициенты исходного уравнения. Остаётся извлечь корень и восстановить x_1 и x_2 по их сумме и разности.

Так же, но чуть более сложно решается кубическое уравнение — берутся уже три линейные комбинации корней,
S=x_1+x_2+x_3,
A=x_1+w x_2+ w^2 x_3,
B=x_1+w^2 x_2 + w x_3,
где w=exp(2πi/3) — корень кубический из единицы.

Тогда S уже симметрический, а A и B при циклической перестановке корней умножатся на w и на w^2 соответственно. Поэтому A^3 и B^3 сохраняются при циклической перестановке корней. А транспозиция меняет их местами — то есть они ведут себя как корни квадратного уравнения, коэффициенты которого (равные -(A^3+B^3) и A^3*B^3) являются уже полностью симметрическими многочленами от x_1,x_2,x_3.

Остаётся "открутить всё назад":
-решить квадратное уравнение, чтобы найти A^3 и B^3,
- извлечь кубические корни, найдя A и B,
- и решить систему из трёх линейных уравнений на три неизвестных.

И если последить, то здесь как раз возникает последовательность разрешимости группы Sym_3 перестановок трёх корней, и это дорога к теории Галуа — но это меня унесло в сторону, а байка, собственно, и не об этом.

Да, для полноты, пара ссылок —
- Э. Б. Винберг, "Курс алгебры", глава 3, параграф 9, с. 145;
- D. Cox, "Galois theory", chapter 1 "Cubic equations".

А хочу я рассказать о третьем, ещё менее популярном способе решать и упрощать уравнения, о преобразованиях Чирнгауза. Да, если что — Чирнгауз вот этот:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Tschirnhaus.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfried_Walther_von_Tschirnhaus

Правда, почему-то преобразования иногда называют Чирнгауза, а иногда Чирнгаузена — см.
http://mathworld.wolfram.com/TschirnhausenTransformation.html или http://mi.mathnet.ru/uzku407 ;
так и в комментариях Витушкина к 13-й проблеме Гильберта:

И откуда взялось это "ен", я не знаю.

Так вот. Пусть у нас есть уравнение P(x)=0 какой-то степени k. И многочлен y=Q(x) меньшей степени.
Тогда можно взять корни x_1,...,x_k многочлена P, и построить новый многочлен R(y) с корнями y_1,...,y_k, получающимися как y_j=Q(x_j).

И может быть, новое уравнение R(y)=0 будет проще старого, а тогда, найдя y_j, мы придём к задаче решения уравнений меньшей степени Q(x)=y_j.

Например, так решается квадратное уравнение
x^2+px+q=0:
мы делаем замену y=x+p/2, после чего приходим к более простому уравнению
y^2-(p^2/4 - q)=0,
которое и решаем извлечением квадратного корня — после чего возвращаемся к исходной переменной.

Для кубического уравнения линейной заменой можно убить только коэффициент при x^2. Но что, если мы рассмотрим многочлены Q и второй степени тоже?

Оказывается, тогда можно обнулить и коэффициент при x. И получится уравнение y^3+c=0, которое решается простым извлечением кубического корня!