В качестве ответвления — как раз наличие прямых на поверхностях второго порядка играет в сведении (преобразованиями Чирнгауз[ен]а) любого уравнения пятой степени к уравнению вида y^5+ay+1=0. После чего можно говорить, что "его решение это просто ещё одна функция от одной переменной a, и чем она хуже, чем степени, радикалы, или синус с тангенсом, кроме как исторически?". (И именно поэтому в формулировке 13-й проблемы Гильберта отдельно оговаривались многочлены именно седьмой степени — это первая степень, где оставалось три свободных параметра.)

Но это история не на сейчас... :)

Раз я в прошлый раз прервался на преобразованиях Чирнгаузена — может быть, это стоит рассказать: кажется, вот это знают не все. Правда, сначала будет более общеизвестное предисловие.

Есть несколько стандартных способов решать кубические уравнения. Самый, пожалуй, известный, это сначала сдвигом переменной привести его к виду x^3+px+q=0, после чего заметить, что выражение
x^3+y^3+z^3-3xyz
раскладывается на множители, одним из которых будет (x+y+z).
Остаётся найти такие y и z, чтобы p=-3yz и q=y^3+z^3, а это (по теореме Виета) превращается в квадратное уравнение с корнями y^3 и z^3.

Чуть менее известный, но глобально чуть более "правильный", связан с теорией Галуа.

Любой симметрический многочлен выражается через элементарные симметрические. Поэтому любой симметрический многочлен от корней полинома выражается через его коэффициенты. Так мы решаем квадратное уравнение — сумма корней x_1+x_2 уже симметрическая, а разность x_1-x_2 при их перестановке меняет знак, так что (x_1-x_2)^2 тоже выражается через коэффициенты исходного уравнения. Остаётся извлечь корень и восстановить x_1 и x_2 по их сумме и разности.

Так же, но чуть более сложно решается кубическое уравнение — берутся уже три линейные комбинации корней,
S=x_1+x_2+x_3,
A=x_1+w x_2+ w^2 x_3,
B=x_1+w^2 x_2 + w x_3,
где w=exp(2πi/3) — корень кубический из единицы.

Тогда S уже симметрический, а A и B при циклической перестановке корней умножатся на w и на w^2 соответственно. Поэтому A^3 и B^3 сохраняются при циклической перестановке корней. А транспозиция меняет их местами — то есть они ведут себя как корни квадратного уравнения, коэффициенты которого (равные -(A^3+B^3) и A^3*B^3) являются уже полностью симметрическими многочленами от x_1,x_2,x_3.

Остаётся "открутить всё назад":
-решить квадратное уравнение, чтобы найти A^3 и B^3,
- извлечь кубические корни, найдя A и B,
- и решить систему из трёх линейных уравнений на три неизвестных.

И если последить, то здесь как раз возникает последовательность разрешимости группы Sym_3 перестановок трёх корней, и это дорога к теории Галуа — но это меня унесло в сторону, а байка, собственно, и не об этом.

Да, для полноты, пара ссылок —
- Э. Б. Винберг, "Курс алгебры", глава 3, параграф 9, с. 145;
- D. Cox, "Galois theory", chapter 1 "Cubic equations".

А хочу я рассказать о третьем, ещё менее популярном способе решать и упрощать уравнения, о преобразованиях Чирнгауза. Да, если что — Чирнгауз вот этот:
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Tschirnhaus.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Ehrenfried_Walther_von_Tschirnhaus

Правда, почему-то преобразования иногда называют Чирнгауза, а иногда Чирнгаузена — см.
http://mathworld.wolfram.com/TschirnhausenTransformation.html или http://mi.mathnet.ru/uzku407 ;
так и в комментариях Витушкина к 13-й проблеме Гильберта:

И откуда взялось это "ен", я не знаю.

Так вот. Пусть у нас есть уравнение P(x)=0 какой-то степени k. И многочлен y=Q(x) меньшей степени.
Тогда можно взять корни x_1,...,x_k многочлена P, и построить новый многочлен R(y) с корнями y_1,...,y_k, получающимися как y_j=Q(x_j).

И может быть, новое уравнение R(y)=0 будет проще старого, а тогда, найдя y_j, мы придём к задаче решения уравнений меньшей степени Q(x)=y_j.

Например, так решается квадратное уравнение
x^2+px+q=0:
мы делаем замену y=x+p/2, после чего приходим к более простому уравнению
y^2-(p^2/4 - q)=0,
которое и решаем извлечением квадратного корня — после чего возвращаемся к исходной переменной.

Для кубического уравнения линейной заменой можно убить только коэффициент при x^2. Но что, если мы рассмотрим многочлены Q и второй степени тоже?

Оказывается, тогда можно обнулить и коэффициент при x. И получится уравнение y^3+c=0, которое решается простым извлечением кубического корня!

И сделать это достаточно просто. Действительно, коэффициенты многочлена с корнями в y_i находятся по теореме Виета. Соответственно, нам нужно, чтобы сумма, и сумма попарных произведений y_i равнялась бы нулю.

А это то же самое, что попросить, чтобы сумма y_i и сумма квадратов y_i равнялась бы нулю.
Уравнение на сумму — линейное уравнение на коэффициенты, на сумму квадратов — квадратное.

Уравнение на сумму — линейное уравнение на коэффициенты, на сумму квадратов — квадратное.
И ещё остаётся одна "неважная" степень свободы: можно все y_i одновременно умножить на константу. Чтобы её убрать, проще всего зафиксировать у многочлена Q какой-нибудь один коэффициент — проще всего сказать, что мы будем искать многочлен y=Q(x) в виде Q(x)=x+b_0+b_2 x^2.
И тогда условие на сумму позволяет линейно выразить b_0 через b_2, а условие на сумму квадратов становится квадратным уравнением на оставшийся неизвестный коэффициент.

Решив его — мы сводим исходное уравнение к уравнению вида y^3+c=0, решаем его, и затем "возвращаемся обратно", решая квадратные уравнения Q(x_i)=y_i.