Ещё один объект, с которыми связаны трансляционные поверхности — это перекладывание отрезков.
А именно — берётся отрезок J, разбивается на несколько отрезков, которые после этого как-то переставляются. Получается динамическая система на J; правда, разрывная в концах подотрезков, зато сохраняющая меру Лебега. Такое отображение называется перекладыванием отрезков:

Картинка отсюда — http://w3.impa.br/~viana/out/ietf.pdf

Собственно, простейший случай — перекладывание двух отрезков — уже нетривиален: это поворот окружности, просто мы эту окружность в одной точке разрезали, и смотрим на неё как на отрезок. И тут можно вспомнить все утверждения про то, что орбиты иррационального поворота плотны и распределены по мере Лебега...

Так вот — на перекладывание отрезков можно смотреть как на "вертикальный" поток на правильно подобранной трансляционной поверхности (а точнее, как на отображение первого возвращения на "горизонтальную" трансверсаль) :

(Картинка оттуда же: M. Viana, "Dynamics of Interval Exchange Transformations and Teichmüller Flows", http://w3.impa.br/~viana/out/ietf.pdf )

Ну и последнее, что я тут уже совсем парой слов хочу упомянуть, это поверхности Вича (Veech surfaces; по очевидным причинам, по-русски это название сложно гуглится).

Как мы видели, на трансляционных поверхностях действует группа SL(2,R). И иногда — как мы уже видели в случае тора, склеенного из квадрата — нетривиальные преобразования могут перевести поверхность в себя. Более того, ещё более иногда оказывается, что подгруппа G тех преобразований, которые переводят поверхность в себя (она называется группой Вича этой поверхности), оказывается очень большой — такой, что факторпространство SL(2,R)/G имеет конечный объём (тогда говорят, что G — решётка в SL(2,R)).

Например, именно так обстоит дело для поверхности, склеенной из квадрата: её стабилизатор это SL(2,Z), и эта решётка имеет конечный кообъём в SL(2,R) (при правильной нормировке получается как раз \zeta(2)=π^2/6, но это уже совсем другая история...).

(Из книги "Математика как метафора" Ю. И. Манина, см. https://math.ru/lib/files/pdf/manin.pdf )

То же получается для поверхности, склеенной из конечного числа квадратиков (там стабилизатором будет подгруппа конечного индекса в SL(2,Z)). Но и не только — двойной пятиугольник, который мы видели раньше — это тоже поверхность Вича.

Так вот — оказывается, что на поверхности Вича параллельный поток (который мы уже видели из перекладывания отрезков) ведёт себя очень похоже на поворот окружности: в зависимости от его угла θ траектории или замыкаются, или оказываются распределены по мере Лебега. Это — дихотомия Вича (Veech Dichotomy) :

Отсюда — P. Hubert, T. Schmidt, An Introduction to Veech Surfaces,
http://www.math.uchicago.edu/~masur/hs.pdf

Поэтому так хорошо, что жираф на докладе Зорича был собран из одинаковых прямоугольников: значит, он является поверхностью Вича, и к потоку на нём применима теорема о дихотомии.

Ну и почти последнее — из одного квадратика мы получаем "квадратный" тор. А если действовать на этот тор аффинными преобразованиями — получим торы, склеенные из всех возможных параллелограммов. Если не выделять вертикальное направление (то есть отфакторизовать по поворотам) — получится пространство торов "с геометрией" (с комплексной структурой). Это — та самая модулярная кривая (она же пространство модулей эллиптических кривых , где "модуль" = "класс эквивалентности", а "эллиптическая кривая" — синоним к "тору с комплексной структурой").

Кадр из рассказа Антона Зорича на "Глобусе" (https://www.youtube.com/watch?v=oBeDuuwxk3k )

Именно поэтому, кстати, группу PSL(2,Z) называют ещё модулярной группой (modular group), и слова "модулярная форма" тоже относятся/восходят сюда — но это уже совсем другая история...

А если к собственно тору добавить выбор вертикального направления — и начать в вертикальном направлении сжимать, а в горизонтальном растягивать — то получится единичное касательное расслоение к модулярной кривой и геодезический поток на ней.

Я надеюсь, мне удалось показать, сколько связей с разной математикой есть у трансляционных поверхностей.

Ну и в завершение — прекрасная (пусть и не связанная с трансляционными поверхностями) цитата со страницы Википедии про Уильяма Вича:

(via https://en.wikipedia.org/wiki/William_A._Veech ; да, я проверил, и в статье по ссылке https://www.popsci.com/buckyball-magic-molecule/ из сноски она есть 🙂 )

«Приглашаем совершить путешествие по красивым математическим задачам. Их постановка понятна школьнику, но некоторые до сих пор не решены учёными»

Сегодня — 15 лет сайту «Математические этюды» ( https://www.etudes.ru/ ). Поздравляем коллег!

Редкий сайт живет столько времени — тем более столько времени развивается. Сегодня у Этюдов обновился сайт, видео постепенно становятся доступны в разрешении 4k; и каждую неделю во вторник на сайте будет появляться что-то новое.

Три модели плоскости Лобачевского

https://etudes.ru/models/lobachevskian-plane-models/
Очень наглядное объяснение.

Сайту «Математических этюдов» вчера исполнилось 15 лет, сегодня там «Математический вторник», а значит, появилось новое видео, и это как раз оно.