Картинка отсюда — http://w3.impa.br/~viana/out/ietf.pdf

Собственно, простейший случай — перекладывание двух отрезков — уже нетривиален: это поворот окружности, просто мы эту окружность в одной точке разрезали, и смотрим на неё как на отрезок. И тут можно вспомнить все утверждения про то, что орбиты иррационального поворота плотны и распределены по мере Лебега...

Так вот — на перекладывание отрезков можно смотреть как на "вертикальный" поток на правильно подобранной трансляционной поверхности (а точнее, как на отображение первого возвращения на "горизонтальную" трансверсаль) :

(Картинка оттуда же: M. Viana, "Dynamics of Interval Exchange Transformations and Teichmüller Flows", http://w3.impa.br/~viana/out/ietf.pdf )

Ну и последнее, что я тут уже совсем парой слов хочу упомянуть, это поверхности Вича (Veech surfaces; по очевидным причинам, по-русски это название сложно гуглится).

Как мы видели, на трансляционных поверхностях действует группа SL(2,R). И иногда — как мы уже видели в случае тора, склеенного из квадрата — нетривиальные преобразования могут перевести поверхность в себя. Более того, ещё более иногда оказывается, что подгруппа G тех преобразований, которые переводят поверхность в себя (она называется группой Вича этой поверхности), оказывается очень большой — такой, что факторпространство SL(2,R)/G имеет конечный объём (тогда говорят, что G — решётка в SL(2,R)).

Например, именно так обстоит дело для поверхности, склеенной из квадрата: её стабилизатор это SL(2,Z), и эта решётка имеет конечный кообъём в SL(2,R) (при правильной нормировке получается как раз \zeta(2)=π^2/6, но это уже совсем другая история...).

(Из книги "Математика как метафора" Ю. И. Манина, см. https://math.ru/lib/files/pdf/manin.pdf )

То же получается для поверхности, склеенной из конечного числа квадратиков (там стабилизатором будет подгруппа конечного индекса в SL(2,Z)). Но и не только — двойной пятиугольник, который мы видели раньше — это тоже поверхность Вича.

Так вот — оказывается, что на поверхности Вича параллельный поток (который мы уже видели из перекладывания отрезков) ведёт себя очень похоже на поворот окружности: в зависимости от его угла θ траектории или замыкаются, или оказываются распределены по мере Лебега. Это — дихотомия Вича (Veech Dichotomy) :

Отсюда — P. Hubert, T. Schmidt, An Introduction to Veech Surfaces,
http://www.math.uchicago.edu/~masur/hs.pdf

Поэтому так хорошо, что жираф на докладе Зорича был собран из одинаковых прямоугольников: значит, он является поверхностью Вича, и к потоку на нём применима теорема о дихотомии.

Ну и почти последнее — из одного квадратика мы получаем "квадратный" тор. А если действовать на этот тор аффинными преобразованиями — получим торы, склеенные из всех возможных параллелограммов. Если не выделять вертикальное направление (то есть отфакторизовать по поворотам) — получится пространство торов "с геометрией" (с комплексной структурой). Это — та самая модулярная кривая (она же пространство модулей эллиптических кривых , где "модуль" = "класс эквивалентности", а "эллиптическая кривая" — синоним к "тору с комплексной структурой").

Кадр из рассказа Антона Зорича на "Глобусе" (https://www.youtube.com/watch?v=oBeDuuwxk3k )

Именно поэтому, кстати, группу PSL(2,Z) называют ещё модулярной группой (modular group), и слова "модулярная форма" тоже относятся/восходят сюда — но это уже совсем другая история...

А если к собственно тору добавить выбор вертикального направления — и начать в вертикальном направлении сжимать, а в горизонтальном растягивать — то получится единичное касательное расслоение к модулярной кривой и геодезический поток на ней.

Я надеюсь, мне удалось показать, сколько связей с разной математикой есть у трансляционных поверхностей.

Ну и в завершение — прекрасная (пусть и не связанная с трансляционными поверхностями) цитата со страницы Википедии про Уильяма Вича:

(via https://en.wikipedia.org/wiki/William_A._Veech ; да, я проверил, и в статье по ссылке https://www.popsci.com/buckyball-magic-molecule/ из сноски она есть 🙂 )

«Приглашаем совершить путешествие по красивым математическим задачам. Их постановка понятна школьнику, но некоторые до сих пор не решены учёными»

Сегодня — 15 лет сайту «Математические этюды» ( https://www.etudes.ru/ ). Поздравляем коллег!

Редкий сайт живет столько времени — тем более столько времени развивается. Сегодня у Этюдов обновился сайт, видео постепенно становятся доступны в разрешении 4k; и каждую неделю во вторник на сайте будет появляться что-то новое.

Три модели плоскости Лобачевского

https://etudes.ru/models/lobachevskian-plane-models/
Очень наглядное объяснение.

Сайту «Математических этюдов» вчера исполнилось 15 лет, сегодня там «Математический вторник», а значит, появилось новое видео, и это как раз оно.

Как и было обещано, каждый вторник у Этюдов теперь премьера:

Сегодняшний фильм — «Три модели плоскости Лобачевского» в разделе «Модели» (https://etudes.ru/models/lobachevskian-plane-models/). В фильме рассказывается, как прозрачная полусфера с нарисованными на ней окружностями, будучи освещена разными способами, может доставить три разные модели плоскости Лобачевского: модель Пуанкаре в круге, модель Кэли—Клейна на диске, модель Пуанкаре на полуплоскости.

Заметим, что Николай Иванович Лобачевский умер, не зная ни одной модели построенной теории (его книга называлась «Воображаемая геометрия»). На сегодняшний день уже известны и другие реализации, отличные от перечисленных выше.

Почему начинаем наш новый проект «Математические вторники» именно с этого фильма? О геометрии Лобачевского наслышаны все. Случайный прохожий на улице скорее всего даст неправильное «определение»: геометрия, в которой параллельные прямые пересекаются. Удивительно, что при этом в математической среде далеко не общеизвестны факты, представленные в фильме.

Напомнил про эту модель Алексей Брониславович Сосинский, опубликовав статью (https://etudes.ru/.data/localdocs/mp25_sossinsky.pdf) в сборнике «Математическое просвещение» (https://www.mccme.ru/free-books/matpros.html). Этот сборник особенно порекомендуем школьникам старших классов, увлекающимся математикой, и студентам. Это периодическое издание является переходным звеном от популярной математической литературы к профессиональной. Первая серия издавалась с 1934 по 1938, вторая — с 1957 по 1961, а третья — с 1997 года по настоящее время.