Как и было обещано, каждый вторник у Этюдов теперь премьера:

Сегодняшний фильм — «Три модели плоскости Лобачевского» в разделе «Модели» (https://etudes.ru/models/lobachevskian-plane-models/). В фильме рассказывается, как прозрачная полусфера с нарисованными на ней окружностями, будучи освещена разными способами, может доставить три разные модели плоскости Лобачевского: модель Пуанкаре в круге, модель Кэли—Клейна на диске, модель Пуанкаре на полуплоскости.

Заметим, что Николай Иванович Лобачевский умер, не зная ни одной модели построенной теории (его книга называлась «Воображаемая геометрия»). На сегодняшний день уже известны и другие реализации, отличные от перечисленных выше.

Почему начинаем наш новый проект «Математические вторники» именно с этого фильма? О геометрии Лобачевского наслышаны все. Случайный прохожий на улице скорее всего даст неправильное «определение»: геометрия, в которой параллельные прямые пересекаются. Удивительно, что при этом в математической среде далеко не общеизвестны факты, представленные в фильме.

Напомнил про эту модель Алексей Брониславович Сосинский, опубликовав статью (https://etudes.ru/.data/localdocs/mp25_sossinsky.pdf) в сборнике «Математическое просвещение» (https://www.mccme.ru/free-books/matpros.html). Этот сборник особенно порекомендуем школьникам старших классов, увлекающимся математикой, и студентам. Это периодическое издание является переходным звеном от популярной математической литературы к профессиональной. Первая серия издавалась с 1934 по 1938, вторая — с 1957 по 1961, а третья — с 1997 года по настоящее время.

А ещё у Этюдов теперь есть телеграм-канал, @EtudesRu !

Итак, первое место заняла Венера (что было скорее ожидаемо, я про неё с детства помню эпитет "ближайшая"), второе — Марс. Более того, в начале опроса Марс даже лидировал:

А правильный ответ удивительный — это Меркурий!

Давайте посмотрим, почему это так и как это можно прикинуть. Во-первых — сразу исключим Юпитер. Перигелий Юпитера — 4.9 астрономических единицы (а.е. = большая полуось орбиты Земли, т.е. "радиус", если пренебречь небольшим, всего в полтора процента, эксцентриситетом орбиты Земли). Конечно, то, что это 4.9, я аккуратно подсмотрел, но "около 5" вполне помнилось.
Так вот — если Юпитер не бывает к Солнцу ближе 4.9 а.е., то просто по неравенству треугольника он к Земле не бывает ближе 3.9 а.е. — и потому ни секунды не был к Земле ближе, чем Меркурий или Венера (которые не могут быть дальше 2а.е.), и даже чем Марс (афелий которого это 1.6 а.е., так что максимальное удаление от Земли 2.6 а.е.).
Так что Юпитер исключаем сразу.

Давайте я перепишу сюда данные по трём оставшимся планетам — сначала полностью, а потом мы их "огрубим" до уровня "для первой прикидки сойдёт":

Меркурий: перигелий 0.307 AU, афелий 0.466 AU;
большая полуось 0.387 AU, эксцентриситет 0.20

Венера: перигелий 0.718 AU, афелий 0.728 AU;
большая полуось 0.723 AU, эксцентриситет 0.0067

Марс: перигелий 1.382 AU, афелий 1.666 AU;
большая полуось 1.523 AU, эксцентриситет 0.09

Земля: перигелий 0.983 AU, афелий 1.016 AU;
большая полуось 1 AU (по определению!), эксцентриситет 0.016

Видно, что у Меркурия эксцентриситет совсем немаленький (разница между наименьшим и наибольшим расстоянием в полтора раза!), да и у Марса вполне заметный. Но давайте для первой прикидки сделаем картинку, считая все орбиты просто круговыми (и взяв за радиусы большие полуоси). Кстати — вот полуоси с одним знаком после запятой, 0.4 (округляя вверх), 0.7 и 1.5 — совершенно без проблем запоминаются (а для прикидки больше и не надо).
(И расстояние в а.е. гораздо проще помнить, чем в миллионах километров!)

Отсюда уже видно, в чём проблема у Марса — когда он подходит близко к Земле, он действительно к ней довольно близко (ближе может быть только Венера) — но только при большей части взаимных расположений он от Земли будет далеко!

Кстати — это хороший момент, чтобы вопрос переформулировать. А именно — давайте поверим, что у наших планет нет заметных орбитальных резонансов, что периоды их обращения вокруг Солнца рационально-независимы. Тогда за большое время планеты окажутся "во всех возможных расположениях", и усреднение по времени (от какой-нибудь величины) будет давать такой же результат, как независимое усреднение по всем планетам, для каждой — за её период.

Иными словами, если мы возьмём тор (четырёхмерный, ибо у нас 4 планеты, Меркурий, Венера, Земля, Марса), координаты на котором это 4 "времени года" (фазы, положения на орбите) этих планет — то за большое время траектория окажется распределена почти в соответствии с мерой Лебега на этом торе. И это называется "эргодичность иррационального потока на торе".

(Ну, дальше есть тонкий вопрос, а что такое "достаточно большое время", но это я замету под ковёр, просто сказав, что пока прикидываем так, и что прикидка таки работает.)

Посмотрим на Марс и убедимся, что он в этом "круговом" приближении даже только у Меркурия не может выиграть чаще, чем в трети случаев. Вот три картинки — Меркурий в максимально удалённой от Земли точке, "под 90 градусов" и в максимально близкой точке:

Даже когда Меркурий "даёт Марсу фору", оказываясь максимально далеко — и то Марс оказывается ближе к Земле лишь чуть больше трети времени.

Когда Меркурий "под 90 градусов" — Марсу остаётся уже немного меньше трети.

Когда Меркурий близко к Земле — поражение Марса почти неминуемо, ему остаётся меньше десятой доли времени. И это всё ещё без учёта Венеры — которая тоже возьмёт свою долю (особенно в "удобных" условиях, когда Меркурий "отошёл подальше").

Я тут, конечно, сильно сжульничал, пустив Меркурий по круговой орбите радиуса 0.4, вместо заметно эллиптической. Но тут можно сказать, что в зависимости от положения Земли эллиптичность может сыграть Меркурию как в минус (если он окажется дальше), так и в плюс (если он окажется ближе). И в первом приближении это должно повлиять не очень сильно.

А раз победитель (из трёх кандидатов) должен быть ближайшим больше трети времени — то Марс не может выиграть. Остаётся решить, кто выигрывает — Меркурий или Венера.