А правильный ответ удивительный — это Меркурий!

Давайте посмотрим, почему это так и как это можно прикинуть. Во-первых — сразу исключим Юпитер. Перигелий Юпитера — 4.9 астрономических единицы (а.е. = большая полуось орбиты Земли, т.е. "радиус", если пренебречь небольшим, всего в полтора процента, эксцентриситетом орбиты Земли). Конечно, то, что это 4.9, я аккуратно подсмотрел, но "около 5" вполне помнилось.
Так вот — если Юпитер не бывает к Солнцу ближе 4.9 а.е., то просто по неравенству треугольника он к Земле не бывает ближе 3.9 а.е. — и потому ни секунды не был к Земле ближе, чем Меркурий или Венера (которые не могут быть дальше 2а.е.), и даже чем Марс (афелий которого это 1.6 а.е., так что максимальное удаление от Земли 2.6 а.е.).
Так что Юпитер исключаем сразу.

Давайте я перепишу сюда данные по трём оставшимся планетам — сначала полностью, а потом мы их "огрубим" до уровня "для первой прикидки сойдёт":

Меркурий: перигелий 0.307 AU, афелий 0.466 AU;
большая полуось 0.387 AU, эксцентриситет 0.20

Венера: перигелий 0.718 AU, афелий 0.728 AU;
большая полуось 0.723 AU, эксцентриситет 0.0067

Марс: перигелий 1.382 AU, афелий 1.666 AU;
большая полуось 1.523 AU, эксцентриситет 0.09

Земля: перигелий 0.983 AU, афелий 1.016 AU;
большая полуось 1 AU (по определению!), эксцентриситет 0.016

Видно, что у Меркурия эксцентриситет совсем немаленький (разница между наименьшим и наибольшим расстоянием в полтора раза!), да и у Марса вполне заметный. Но давайте для первой прикидки сделаем картинку, считая все орбиты просто круговыми (и взяв за радиусы большие полуоси). Кстати — вот полуоси с одним знаком после запятой, 0.4 (округляя вверх), 0.7 и 1.5 — совершенно без проблем запоминаются (а для прикидки больше и не надо).
(И расстояние в а.е. гораздо проще помнить, чем в миллионах километров!)

Отсюда уже видно, в чём проблема у Марса — когда он подходит близко к Земле, он действительно к ней довольно близко (ближе может быть только Венера) — но только при большей части взаимных расположений он от Земли будет далеко!

Кстати — это хороший момент, чтобы вопрос переформулировать. А именно — давайте поверим, что у наших планет нет заметных орбитальных резонансов, что периоды их обращения вокруг Солнца рационально-независимы. Тогда за большое время планеты окажутся "во всех возможных расположениях", и усреднение по времени (от какой-нибудь величины) будет давать такой же результат, как независимое усреднение по всем планетам, для каждой — за её период.

Иными словами, если мы возьмём тор (четырёхмерный, ибо у нас 4 планеты, Меркурий, Венера, Земля, Марса), координаты на котором это 4 "времени года" (фазы, положения на орбите) этих планет — то за большое время траектория окажется распределена почти в соответствии с мерой Лебега на этом торе. И это называется "эргодичность иррационального потока на торе".

(Ну, дальше есть тонкий вопрос, а что такое "достаточно большое время", но это я замету под ковёр, просто сказав, что пока прикидываем так, и что прикидка таки работает.)

Посмотрим на Марс и убедимся, что он в этом "круговом" приближении даже только у Меркурия не может выиграть чаще, чем в трети случаев. Вот три картинки — Меркурий в максимально удалённой от Земли точке, "под 90 градусов" и в максимально близкой точке:

Даже когда Меркурий "даёт Марсу фору", оказываясь максимально далеко — и то Марс оказывается ближе к Земле лишь чуть больше трети времени.

Когда Меркурий "под 90 градусов" — Марсу остаётся уже немного меньше трети.

Когда Меркурий близко к Земле — поражение Марса почти неминуемо, ему остаётся меньше десятой доли времени. И это всё ещё без учёта Венеры — которая тоже возьмёт свою долю (особенно в "удобных" условиях, когда Меркурий "отошёл подальше").

Я тут, конечно, сильно сжульничал, пустив Меркурий по круговой орбите радиуса 0.4, вместо заметно эллиптической. Но тут можно сказать, что в зависимости от положения Земли эллиптичность может сыграть Меркурию как в минус (если он окажется дальше), так и в плюс (если он окажется ближе). И в первом приближении это должно повлиять не очень сильно.

А раз победитель (из трёх кандидатов) должен быть ближайшим больше трети времени — то Марс не может выиграть. Остаётся решить, кто выигрывает — Меркурий или Венера.

И если бы мы сравнивали друг с другом только их — то победа Меркурия (даже с учётом эллиптичности его орбиты) получалась бы рассуждением классической геометрии 🙂

Потому что — для каждого положения Меркурия посмотрим, какую долю времени выигрывает у него Венера, когда Земля находится где-нибудь — и когда она на диаметрально противоположной точке своей орбиты:

Каждой из этих долей соответствуют точки орбиты Венеры внутри соответствующих окружностей с центром в одном из положений Земли. Но внутренности этих окружностей пересекаются только внутри орбиты Венеры — а значит, высекаемые ими кусочки орбиты Венеры не пересекаются. И поэтому полусумма долей, когда Венера выигрывает у Меркурия при одном и при другом положении Земли, меньше половины. Усредняя — получаем, что Венера у Меркурия выигрывает меньше половины времени, так что в "зачёте матчей один на один" Меркурий точно выигрывает. (И это рассуждение вполне универсальное.)

Увы, дальше начинает работать парадокс голосования: может быть, Марс, который не может выиграть — оттянет на себя "голоса" (простите, долю времени) у Меркурия, и из-за этого выиграет Венера.

Более того, можно построить "искусственный пример" (чисто математический, конечно), когда все орбиты круговые, с независимыми периодами — но выигрывает не самая внутренняя планета!