А в положении "под 90" получается 0.43:

Ну и среднее арифметическое как раз 0.46.

Это, конечно, "прикидка на коленке". Но она оказывается вполне точной: вот видео с честной симуляцией
https://www.youtube.com/watch?v=GDgbVIqGADQ
(собственно, откуда я эту историю и узнал, точнее, из его адаптации —
https://www.youtube.com/watch?v=SumDHcnCRuU )

(а это скриншот оттуда с процентами)

И последнее: если вместо вопроса про долю времени мы будем спрашивать, "какая планета в среднем ближайшая", то в приближении круговых орбит угадать, что опять победит Меркурий, довольно несложно.

Представьте себе график расстояния до Земли. Это верхняя половина конуса с вершиной в Земле. В частности — это выпуклая функция. Поэтому её среднее по кругам-орбитам с центром в Солнце будет возрастать с радиусом. Ибо — проводим касательную к внутренней окружности до пересечений BC с внешней и пользуемся неравенством Йенсена (в данном случае — неравенством треугольника, что расстояние до точки касания меньше среднего арифметического расстояний до концов дуги BC), после чего усредняем по положению внутренней планеты:

На самом деле — тут по делу даже не выпуклость, а (следующая из неё) положительность оператора Лапласа (а Δ(r)>0 можно увидеть и непосредственно). И тут надо вспомнить про гармонические функции: Δ(f)=0 (для "хороших" f) равносильно тому, что среднее f по окружности с данным центром это просто её значение в центре (собственно, в одну сторону это так и называется, "теорема о среднем значении для гармонических функций"). Ну и давайте я тут вспомню летнюю лекцию Александра Логунова.

(один слайд оттуда)

недавно было 80 лет со дня рождения Николая Борисовича Васильева — в новый Квант (№8 за 2020 год) вошел текст о нем, его статья, поборка задач

Анекдот в тему — как специалист по теории вероятностей проверяет, что интеграл от 0 до 1 от x^N это 1/(N+1)?
Он выбирает на отрезке [0,1] равномерно и независимо N+1 точку и спрашивает, с какой вероятностью первая из них правее всего? С одной стороны, вероятность этого 1/(N+1), с другой, это интеграл от x^N (вероятность того, что все остальные меньше её, если она приняла значение x) по dx (распределение значений = мера Лебега).

А геометрически можно сказать, что куб [0,1]^{N+1} нарезается на N+1 равную (но неправильную!) пирамиду с основанием [0,1]^N (и общей вершиной (1,1,...,1) ) — по тому, какая координата наибольшая.
Кстати, точно так же куб [0,1]^n можно разрезать на n! одинаковых (неправильных — зато "довольно прямоугольных") симплекса — по тому, в каком порядке идут координаты. И тут можно сказать про группу перестановок координат, порождённую их транспозициями = отражениями относительно плоскостей x_i=x_j, и её фундаментальную область... Или сказать слова "группа Вейля" и "камера Вейля" ( https://ru.wikipedia.org/wiki/Группа_Вейля ).
Или спросить — "Самурай разрубил куб [0,1]^3 вдоль плоскостей x=y, y=z и z=x. Сколько и каких частей получилось?".
Или вспомнить про классификацию правильных многогранников — группы симметрий которых порождаются отражениями (и я тут хочу вспомнить брошюру Е. Смирнова, https://www.mccme.ru/free-books/dubna/smirnov-reflections-v2.pdf — и соответствующую картинку из неё)

Коллеги пишут, что задача про разрезание куба на три пирамиды была на Московской математической олимпиаде в 1953-м: см. https://problems.ru/view_by_source_new.php?parent=168097 (это вариант 9-го класса, но она была и в 10-м). Не знал! 🙂

Дальше в матбайках обсуждается геометрическая версия этого рассуждения. Если отложить пока в сторону умные разговоры про группу Вейля и т.п., то речь идет просто о том, что например,

куб можно разрезать на 3 равные пирамиды с квадратным основанием

— такая задача, кстати, предлагалась на Московской математической олимпиаде в 1953 году.

А вот ещё "ответное слово" — вероятностное доказательство для суммы обратных квадратов:

А вот ещё и «вероятностное» доказательство pi^2/6, отсюда https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.4169/amer.math.monthly.118.07.641

Очень красиво, и этого я тоже не знал!

(Интересно, есть ли у этого какое-то красивое объяснение — почему нужно брать именно распределения Коши?)

В старших классах школы изучаются гиперболы и параболы, но мало кто в школе знает, что такое гиперболический параболоид, ведь этот объект — предмет изучения студентов. Тем не менее, картонную модель гиперболического параболоида (https://etudes.ru/models/conic-sections-hyperbolic-paraboloid-carboard-model/) можно сделать и обсудить даже с детьми!

Увидеть анимированное определение гиперболического параболоида, разобраться, где там параболы, а где гиперболы, можно на нашем сайте по ссылке https://etudes.ru/models/conic-sections-sadle-hyperbolic-paraboloid/. Чипсам, упакованным в цилиндрические тубусы, чтобы они меньше крошились, придают форму как раз гиперболического параболоида. Это одно из интересных и простых применений такой поверхности в обычной жизни. Проведя сильно противоречащий интуиции эксперимент с чипсами, представленный у нас на сайте в ролике «Чипсы: гиперболический параболоид» (https://etudes.ru/models/conic-sections-crisps-hyperbolic-paraboloid/), можно убедиться, что гиперболический параболоид — линейчатая поверхность. Кстати, оба ролика теперь доступны в разрешении 4k!

Конкурс этой недели, в рамках которого мы разыгрываем книгу «Математическая составляющая», связан с картонной моделью гиперболического параболоида и будет интересен как детям, так и взрослым (ссылка на конкурс). Сделанная модель наглядно иллюстрирует свойство линейчатости. Также, используя модель, можно увидеть ещё один интересный факт: если попытаться изогнуть лист бумаги без разрезов в форме гиперболического параболоида, то ничего не выйдет — в каком-нибудь месте бумага обязательно будет отстоять от поверхности. Искушённый читатель правильно скажет, что у гиперболического параболоида отрицательная кривизна. Попробуйте наложить на сделанную модель лист бумаги и убедиться в этом.

Посмотреть на картонную модель гиперболического параболоида можно, например, в журнале «Квант» (№3 за 1990 год). Напомним, что архив всех номеров журнала можно найти на сайте https://kvant.ras.ru/. Кстати в этом году, Кванту исполнилось 50 лет!

Когда-то, в Древней Индии математическим доказательством считалась картинка иллюстрирующая математический факт, сопровождаемая надписью «Смотри!». Вот и мы в этот раз, давая лишь картинку, идём по этому пути. Sapienti sat. Только в данном случае лучше перефразировать – не «умному», а «желающему».