А теперь давайте их наложим одну на другую — и будем поворачивать. Что получится? Оказывается, получается очень красивая картина:

А ещё интереснее, если исходная решётка была треугольной... Попробуйте сделать сами (когда Тадаси мне это показал, я прыгал от восторга)! Ну а когда я рассказал это Коле Андрееву, он сказал, что уже знает по другой причине — см. последнюю иллюстрацию отсюда: https://book.etudes.ru/toc/colorspaces/#xtra1

А ещё можно вспомнить двуслойный графен — и то, что происходит с его слоями при повороте: вот тут ( https://elementy.ru/problems/835/Uzory_dvukhsloynogo_grafena ) задача Игоря Иванова, а вот тут ( https://nplus1.ru/news/2018/03/05/magic-graphene ) — новость про его превращение в сверхпроводник при правильном выборе угла

К вечеру воскресенья — давайте я поделюсь несколькими видео:
1) Савватеев про задачу про сборку замкнутой дороги. Очень хорошо сделано — и задача действительно удачно выбрана. Когда он предлагает поставить паузу и подумать — это и впрямь стоит сделать!
https://www.youtube.com/watch?v=lLZzgpG5320
2) Очень классно сделанное видео про клеточные автоматы — https://www.youtube.com/watch?v=FiO6jkNkrb4 (мои поздравления автору!). Тут не только игра "Жизнь", но и ракушка и "правило 30 Вольфрама", и муравей Лэнгтона (а под конец — и его 3d-аналог), и заканчивается, действительно, [некоторой] 3d-версией игры "Жизнь" — похожим на неё клеточным автоматом с "достаточно интересным" поведением.
3) свежее видео Numberphile с практически "пляшущими человечками":
https://www.youtube.com/watch?v=9p55Qgt7Ciw

(Ключевой) кадр из видео Numberphile —

(Но до и после там тоже интересно!)

О, какая прекрасная история!

Краткая иллюстрация того, как расшифровывают знаки, обозначающие цифры в умерших языках.

https://katherinemcdonald.net/2020/11/05/the-mystery-of-etruscan-4-and-6/

Премьера сайта «Математические этюды».

А вы знаете, как изобразить эллипс, обладая лишь карандашом, замкнутой ниткой и двумя гвоздями? Надо накинуть нить на два вбитых гвоздя. Тогда кривая, которую нарисует карандаш, если в каждый момент он будет натягивать нить, как раз и будет эллипсом, а гвоздики будут находиться в его фокусах. Часто математики именно так и определяют: эллипс — геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек (фокусов) постоянна.

А что будет, если на плоскость положить уже готовый эллипс из плотного материала и использовать его вместо гвоздей? Оказывается, карандаш, натягивающий нить, опять нарисует эллипс, причём софокусный исходному. Это утверждение называется теоремой Грейвза и именно о ней сегодняшний наш фильм https://etudes.ru/models/conic-sections-confocal-ellipses/.

Я помню, какой удивительной мне показалась эта теорема, когда я её в первый раз услышал — как раз из-за того, что я знал, что длина дуги эллипса задаётся интегралом, который в элементарных функциях не выражается.

Физическое доказательство, которое там упоминается, на самом деле, очень естественное. А именно — если вокруг любой выпуклой фигуры прорисовывать кривую "по Грейвсу", то касательная к ней будет перпендикуляром к биссектрисе угла, образованного двух отрезками, отходящими от карандаша.

Потому что на карандаш действует сила "реакции нитки", складывающаяся из двух сил, приходящих из двух отрезков. Но в отсутствие трения натяжение нити на всём её протяжении одинаково по модулю — так что мы складываем два равных по модулю вектора. И их равнодействующая будет направлена по биссектрисе угла между двумя отрезками — а, соответственно, карандаш будет двигаться перпендикулярно этому направлению:

С другой стороны, мы знаем про оптическое свойство эллипса — что касательная к нему тоже перпендикулярна биссектрисе, только другого угла: угла, образуемого отрезками, соединяющими точку с фокусами. (Собственно, можно сказать, что это вырожденный случай предыдущего, когда фигуру заменили на отрезок от одного фокуса до другого.)

Значит, нужно проверить равенство двух углов между касательными из внешней точки к эллипсу и направлениями на фокусы:

А это уже простой геометрический факт: если отразить отрезки из фокусов в точки касания относительно касательных, то появятся два равных по трём сторонам треугольника:

Да, физическое рассуждение тут можно заменить на вот какое: если зафиксировать на дальней дуге эллипса некоторую точку, то полная длина нитки это длина пути "отрезок+дуга" с одной и с другой стороны. А если посмотреть на градиент одного из двух слагаемых, то это как раз и будет единичный вектор, направленный по соответствующему отрезку (правда, в направлении от точки касания, потому что градиент, а не минус градиент). Ну и градиентом суммы будет сумма градиентов — как раз вектор, направленный по биссектрисе (но наружу). А линия уровня перпендикулярна градиенту.

А линия уровня для одной такой суммы называется эвольвентой (рис.: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Evolvente-parabel.noscript#/media/File:Evolvente-parabel.noscript ) ; что совершенно естественно, центром кривизны эвольвенты в какой-нибудь точке является точка касания нитки с исходной кривой в соответствующий момент: мгновенным образом нитка "крутится" именно вокруг неё. Поэтому (локально) обратная операция к построению эвольвенты это взятие множества центров кривизны — которое называется эволютой .

И именно с этим связано то, что соприкасающиеся окружности на отрезке кривой, где радиус кривизны меняется монотонно, оказываются вложены друг в друга. Потому что если рассмотреть кривую Г как эвольвенту её кривой центров Г', то изменение радиуса кривизны это длина соответствующей дуги кривой Г' ("на сколько размоталась верёвка"), а само смещение центра это хорда этой дуги. Поэтому расстояние между центрами соприкасающихся окружностей меньше разности их радиусов — и вот и вложенность!