Премьера сайта «Математические этюды».

А вы знаете, как изобразить эллипс, обладая лишь карандашом, замкнутой ниткой и двумя гвоздями? Надо накинуть нить на два вбитых гвоздя. Тогда кривая, которую нарисует карандаш, если в каждый момент он будет натягивать нить, как раз и будет эллипсом, а гвоздики будут находиться в его фокусах. Часто математики именно так и определяют: эллипс — геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух выделенных точек (фокусов) постоянна.

А что будет, если на плоскость положить уже готовый эллипс из плотного материала и использовать его вместо гвоздей? Оказывается, карандаш, натягивающий нить, опять нарисует эллипс, причём софокусный исходному. Это утверждение называется теоремой Грейвза и именно о ней сегодняшний наш фильм https://etudes.ru/models/conic-sections-confocal-ellipses/.

Я помню, какой удивительной мне показалась эта теорема, когда я её в первый раз услышал — как раз из-за того, что я знал, что длина дуги эллипса задаётся интегралом, который в элементарных функциях не выражается.

Физическое доказательство, которое там упоминается, на самом деле, очень естественное. А именно — если вокруг любой выпуклой фигуры прорисовывать кривую "по Грейвсу", то касательная к ней будет перпендикуляром к биссектрисе угла, образованного двух отрезками, отходящими от карандаша.

Потому что на карандаш действует сила "реакции нитки", складывающаяся из двух сил, приходящих из двух отрезков. Но в отсутствие трения натяжение нити на всём её протяжении одинаково по модулю — так что мы складываем два равных по модулю вектора. И их равнодействующая будет направлена по биссектрисе угла между двумя отрезками — а, соответственно, карандаш будет двигаться перпендикулярно этому направлению:

С другой стороны, мы знаем про оптическое свойство эллипса — что касательная к нему тоже перпендикулярна биссектрисе, только другого угла: угла, образуемого отрезками, соединяющими точку с фокусами. (Собственно, можно сказать, что это вырожденный случай предыдущего, когда фигуру заменили на отрезок от одного фокуса до другого.)

Значит, нужно проверить равенство двух углов между касательными из внешней точки к эллипсу и направлениями на фокусы:

А это уже простой геометрический факт: если отразить отрезки из фокусов в точки касания относительно касательных, то появятся два равных по трём сторонам треугольника:

Да, физическое рассуждение тут можно заменить на вот какое: если зафиксировать на дальней дуге эллипса некоторую точку, то полная длина нитки это длина пути "отрезок+дуга" с одной и с другой стороны. А если посмотреть на градиент одного из двух слагаемых, то это как раз и будет единичный вектор, направленный по соответствующему отрезку (правда, в направлении от точки касания, потому что градиент, а не минус градиент). Ну и градиентом суммы будет сумма градиентов — как раз вектор, направленный по биссектрисе (но наружу). А линия уровня перпендикулярна градиенту.

А линия уровня для одной такой суммы называется эвольвентой (рис.: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Evolvente-parabel.noscript#/media/File:Evolvente-parabel.noscript ) ; что совершенно естественно, центром кривизны эвольвенты в какой-нибудь точке является точка касания нитки с исходной кривой в соответствующий момент: мгновенным образом нитка "крутится" именно вокруг неё. Поэтому (локально) обратная операция к построению эвольвенты это взятие множества центров кривизны — которое называется эволютой .

И именно с этим связано то, что соприкасающиеся окружности на отрезке кривой, где радиус кривизны меняется монотонно, оказываются вложены друг в друга. Потому что если рассмотреть кривую Г как эвольвенту её кривой центров Г', то изменение радиуса кривизны это длина соответствующей дуги кривой Г' ("на сколько размоталась верёвка"), а само смещение центра это хорда этой дуги. Поэтому расстояние между центрами соприкасающихся окружностей меньше разности их радиусов — и вот и вложенность!

А вот это доказательство в "Математическом дивертисменте" Табачникова-Фукса.

Владимир Федорович Овчинников (04.10.1928–10.11.2020)

легендарный директор Второй школы (с основания и до 1971 г. и в 2001–2020 гг.)

https://news.1rj.ru/str/cme_channel/478

напомним про материалы Второй школы 60-х годов

и на списки преподавателей интересно, да, посмотреть — напр., https://www.mathedu.ru/text/matshkola_lektsii_i_zadachi_v1_1965/p43/

Давайте я ещё чуть-чуть порекламирую Этюды: вот тут ( https://etudes.ru/sketches/ellipse-envelope/ ) анимация, в которой эллипс появляется как огибающая. А именно — если взять окружность, по которой бегает точка P, и точку A внутри неё — то огибающая перпендикуляров к AP в точке P будет эллипсом, касающимся этой окружности и с A как одним из фокусов:

Правда, мне это утверждение чуть больше нравится в варианте, получаемом сжатием в два раза: огибающая серединных перпендикуляров к отрезку AP это эллипс, фокусы которого это A и центр окружности.

И в таком виде на это проще всего смотреть в обратную сторону — взять такой эллипс, провести касательную к нему в какой-то точке Q, и отразить отрезок AQ относительно неё. Получающийся отрезок PQ попадает на продолжение отрезка BQ (ибо свойство эллипса), а значит, расстояние BP как раз равно сумме расстояний до фокусов:
BP=QA+QB=const
Поэтому точка P бегает как раз по окружности с центром во втором фокусе B (а радиус этой окружности — длина нити, использованной при построении эллипса).

А ещё это утверждение связано с эллиптичностью орбит. И давайте я тут процитирую коллег:

появление эллипса на круглом листе бумаги ( via vk.com/thebeautyoftruth )

к картинке про эллипс выше

1) слайды про оптическое свойство и прочее

2) видео https://youtu.be/xdIjYBtnvZU про то, как такая геометрия связана с эллиптичностью орбит планет