И именно с этим связано то, что соприкасающиеся окружности на отрезке кривой, где радиус кривизны меняется монотонно, оказываются вложены друг в друга. Потому что если рассмотреть кривую Г как эвольвенту её кривой центров Г', то изменение радиуса кривизны это длина соответствующей дуги кривой Г' ("на сколько размоталась верёвка"), а само смещение центра это хорда этой дуги. Поэтому расстояние между центрами соприкасающихся окружностей меньше разности их радиусов — и вот и вложенность!

А вот это доказательство в "Математическом дивертисменте" Табачникова-Фукса.

Владимир Федорович Овчинников (04.10.1928–10.11.2020)

легендарный директор Второй школы (с основания и до 1971 г. и в 2001–2020 гг.)

https://news.1rj.ru/str/cme_channel/478

напомним про материалы Второй школы 60-х годов

и на списки преподавателей интересно, да, посмотреть — напр., https://www.mathedu.ru/text/matshkola_lektsii_i_zadachi_v1_1965/p43/

Давайте я ещё чуть-чуть порекламирую Этюды: вот тут ( https://etudes.ru/sketches/ellipse-envelope/ ) анимация, в которой эллипс появляется как огибающая. А именно — если взять окружность, по которой бегает точка P, и точку A внутри неё — то огибающая перпендикуляров к AP в точке P будет эллипсом, касающимся этой окружности и с A как одним из фокусов:

Правда, мне это утверждение чуть больше нравится в варианте, получаемом сжатием в два раза: огибающая серединных перпендикуляров к отрезку AP это эллипс, фокусы которого это A и центр окружности.

И в таком виде на это проще всего смотреть в обратную сторону — взять такой эллипс, провести касательную к нему в какой-то точке Q, и отразить отрезок AQ относительно неё. Получающийся отрезок PQ попадает на продолжение отрезка BQ (ибо свойство эллипса), а значит, расстояние BP как раз равно сумме расстояний до фокусов:
BP=QA+QB=const
Поэтому точка P бегает как раз по окружности с центром во втором фокусе B (а радиус этой окружности — длина нити, использованной при построении эллипса).

А ещё это утверждение связано с эллиптичностью орбит. И давайте я тут процитирую коллег:

появление эллипса на круглом листе бумаги ( via vk.com/thebeautyoftruth )

к картинке про эллипс выше

1) слайды про оптическое свойство и прочее

2) видео https://youtu.be/xdIjYBtnvZU про то, как такая геометрия связана с эллиптичностью орбит планет

И чуть-чуть перескажу это видео своими словами — но его стоит посмотреть целиком, оно очень хорошо сделано.

Основной шаг (который очень хорошо запоминается!) там такой: давайте отложим от начала координат вектора скоростей планеты в разные моменты времени.
Теорема: это окружность — правда, с центром не в начале координат.
(Ещё можно сказать, "годограф скоростей круглый")

(Кадр из https://youtu.be/xdIjYBtnvZU?t=953 )

Доказательство: запараметризуем орбиту вместо времени углом из Солнца. Производная скорости по углу будет направлена по радиус-вектору — и будет пропорционально произведению силы притяжения на время на прохождение заданного угла (ну то есть обратно пропорционально угловой скорости).
* Сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния, ибо закон всемирного тяготения;
* Время на прохождение угла прямо пропорционально квадрату расстояния, ибо второй закон Кеплера a.k.a. закон сохранения момента импульса (площадь равнобедренного треугольника с фиксированным углом при вершине пропорционален квадрату его боковой стороны).
И вот квадрат расстояния сокращается — и в такой параметризации производная по углу (жёлтый вектор на рисунке выше) постоянна по модулю. Интегрируя — как раз и получаем, что конец вектора скорости ходит по окружности, правда, с центром где угодно (ибо "плюс константа").

Этого ещё не хватает — нужно добавить, что по этой окружности в этой параметризации (по углу из Солнца) конец вектора скорости движется равномерно (что мы, собственно, рассуждением выше тоже доказали), и использовать это, чтобы вернуться обратно и построить орбиту.

(кадр из https://youtu.be/xdIjYBtnvZU?t=1129 )

И если развернуть картинку скоростей на 90 градусов, а потом нарисовать [серединные] перпендикуляры ("разворачивая скорости обратно") — то как раз нужная картинка и образуется:

(кадр из https://youtu.be/xdIjYBtnvZU?t=1149 )

Вот. А ещё — если точка A была снаружи окружности, то огибающая получается гиперболой (что, естественно, соответствует гиперболическим орбитам) — https://etudes.ru/sketches/hyperbola-envelope/ .
И получающаяся картинка мне очень напоминает однополостный гиперболоид с одним из двух семейств прямых на нём.

Вот интересно, нельзя ли как-то красиво "выйти в трёхмерное пространство" — чтобы движение точки по окружности и соответствующее движение серединного перпендикуляра естественно становилось движением образующей по гиперболоиду?

Да, про движение образующей — есть удивительная на первый взгляд модель-иллюстрация, когда прямая-образующая "прокручивается" сквозь кривую — гиперболическую — щель: https://youtu.be/gNG-UmfdB4o?t=633 (я поставил отметку начала на нужное место).

А ещё коллеги добавляют, что картинка для эллипса тоже напоминает однополостный гиперболоид, только на который мы смотрим вдоль одного из направлений внутри полости (точнее, внутри его асимптотического конуса).