появление эллипса на круглом листе бумаги ( via vk.com/thebeautyoftruth )

к картинке про эллипс выше

1) слайды про оптическое свойство и прочее

2) видео https://youtu.be/xdIjYBtnvZU про то, как такая геометрия связана с эллиптичностью орбит планет

И чуть-чуть перескажу это видео своими словами — но его стоит посмотреть целиком, оно очень хорошо сделано.

Основной шаг (который очень хорошо запоминается!) там такой: давайте отложим от начала координат вектора скоростей планеты в разные моменты времени.
Теорема: это окружность — правда, с центром не в начале координат.
(Ещё можно сказать, "годограф скоростей круглый")

(Кадр из https://youtu.be/xdIjYBtnvZU?t=953 )

Доказательство: запараметризуем орбиту вместо времени углом из Солнца. Производная скорости по углу будет направлена по радиус-вектору — и будет пропорционально произведению силы притяжения на время на прохождение заданного угла (ну то есть обратно пропорционально угловой скорости).
* Сила притяжения обратно пропорциональна квадрату расстояния, ибо закон всемирного тяготения;
* Время на прохождение угла прямо пропорционально квадрату расстояния, ибо второй закон Кеплера a.k.a. закон сохранения момента импульса (площадь равнобедренного треугольника с фиксированным углом при вершине пропорционален квадрату его боковой стороны).
И вот квадрат расстояния сокращается — и в такой параметризации производная по углу (жёлтый вектор на рисунке выше) постоянна по модулю. Интегрируя — как раз и получаем, что конец вектора скорости ходит по окружности, правда, с центром где угодно (ибо "плюс константа").

Этого ещё не хватает — нужно добавить, что по этой окружности в этой параметризации (по углу из Солнца) конец вектора скорости движется равномерно (что мы, собственно, рассуждением выше тоже доказали), и использовать это, чтобы вернуться обратно и построить орбиту.

(кадр из https://youtu.be/xdIjYBtnvZU?t=1129 )

И если развернуть картинку скоростей на 90 градусов, а потом нарисовать [серединные] перпендикуляры ("разворачивая скорости обратно") — то как раз нужная картинка и образуется:

(кадр из https://youtu.be/xdIjYBtnvZU?t=1149 )

Вот. А ещё — если точка A была снаружи окружности, то огибающая получается гиперболой (что, естественно, соответствует гиперболическим орбитам) — https://etudes.ru/sketches/hyperbola-envelope/ .
И получающаяся картинка мне очень напоминает однополостный гиперболоид с одним из двух семейств прямых на нём.

Вот интересно, нельзя ли как-то красиво "выйти в трёхмерное пространство" — чтобы движение точки по окружности и соответствующее движение серединного перпендикуляра естественно становилось движением образующей по гиперболоиду?

Да, про движение образующей — есть удивительная на первый взгляд модель-иллюстрация, когда прямая-образующая "прокручивается" сквозь кривую — гиперболическую — щель: https://youtu.be/gNG-UmfdB4o?t=633 (я поставил отметку начала на нужное место).

А ещё коллеги добавляют, что картинка для эллипса тоже напоминает однополостный гиперболоид, только на который мы смотрим вдоль одного из направлений внутри полости (точнее, внутри его асимптотического конуса).

https://news.1rj.ru/str/EtudesRu/26

«50 лет назад, 17 ноября 1970 года на поверхность Луны был доставлен советский аппарат «Луноход-1» (…). Ясно, что такой громадный проект наполнен сложными математикой и физикой: от проектирования самого аппарата до расчёта полёта к Луне. Но не все знают, что на каждом луноходе было установлено устройство, принцип работы которого построен на совсем «школьной» программе (…)»

как всегда по вторникам — новый сюжет у Математических этюдов

Кстати, всего на Луне сейчас есть пять (комплектов) отражателей — по одному блоку на Луноходах-1 и -2, и три установили экспедиции Apollo-11, -14 и -15.
Я пишу "комплектов" — потому что каждый из них это не один такой трёхгранный уголок, а блок из них. У Луноходов это вынесенный вперёд блок в виде продолговатого шестиугольника (вот тут, https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lunokhod-2_model.jpg , он в направлении фотографа, а вот тут, https://www.roscosmos.ru/29563/ — самый левый).

Собственно, вот он (image credit: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lunokhod-2_model.jpg , фрагмент) —

А вот фотография (с Луны!) установленного астронавтами Apollo-14 блока (image credit: NASA, https://science.nasa.gov/science-news/science-at-nasa/2004/06may_lunarranging/ ) :

Так что на Луне есть целых пять точек, расстояние до которых сейчас люди умеют измерять с точностью до сантиметров и даже до миллиметров (см. https://iopscience.iop.org/article/10.1086/596748 ). И в той статье в "Природе" 2002 года, которую упоминают в Этюдах, есть карта их расположения на Луне (Image credit: Е.Ю.Алёшкина, "Лазерная локация Луны", https://priroda.ras.ru/pdf/2002-09.pdf ) —

Отдельная интересная история — это отражатели Лунохода-1. После 1971 года до него не могли "дозваться"; в той статье в "Природе" 2002 года, что я уже упоминал, предполагается, что они деградировали и перестали достаточно хорошо отражать:

Вот цитата из другой статьи 2002 года, https://ilrs.gsfc.nasa.gov/docs/williams_lw13.pdf ("неясно, то ли отражатели потеряли эффективность, то ли положение неточное") :

А в 2010 году — нашли: https://ucsdnews.ucsd.edu/archive/newsrel/science/04-26SovietReflector.asp !
И давайте я добавлю пару цитату оттуда:
==
“It turns out we were searching around a position miles from the rover,” said Murphy. “We could only search one football-field-sized region at a time. The recent images from LRO, together with laser altimetry of the surface, provided coordinates within 100 meters, and then we were in business and only had to wait for time on the telescope in good observing conditions.”
==
"The best signal we’ve seen from Lunokhod 2 in several years of effort is 750 return photons, but we got about 2,000 photons from Lunokhod 1 on our first try. It’s got a lot to say after almost 40 years of silence.”
(Кстати, интересно, что счёт идёт буквально на отдельные фотоны!)