Давайте я покажу кадр из видео Ричарда Борчердса, https://youtu.be/a9k_QmZbwX8?t=197 .
Математические байки
Давайте я покажу кадр из видео Ричарда Борчердса, https://youtu.be/a9k_QmZbwX8?t=197 .
Думаю, при взгляде на всё написанное становится понятно, что "таких совпадений не бывает".
И, как и в случае с числом (1+\sqrt{2})^100, механизм "почти целости" тут — что есть по-настоящему целое число, которое складывается из "почти целого" — и чего-то очень маленького.
И, как и в случае с числом (1+\sqrt{2})^100, механизм "почти целости" тут — что есть по-настоящему целое число, которое складывается из "почти целого" — и чего-то очень маленького.
(В скобках — каюсь, я довольно долго считал, что e^{π\sqrt{163}) это такое случайное совпадение, ну вот написали что-то, и попали близко к целому; и даже то, что девяток после запятой ну слишком много, меня в те годы не настораживало.)
Так вот — есть такая функция, j-инвариант. Это "хороший" инвариант эллиптической кривой — то есть фактора C/Г комплексной плоскости по решётке Г; иными словами, "хорошая" функция на множестве решёток на плоскости, рассматриваемых с точностью до умножения на комплексные числа (потому что умножение на λ переводит решётку C/Г в решётку C/(λГ)).
Её можно строить разными способами, но я сначала просто поверю в то, что она есть, и скажу про пару её свойств.
В частности — можно в решётке выбрать положительно ориентированный базис, и поделить на первый его элемент; тогда решётка примет вид <1, τ>, где τ — точка из верхней полуплоскости {Im τ>0}. Соответственно, тогда нужно строить функцию j(τ) в верхней полуплоскости — но инвариантную относительно замены базиса. А это не только замена τ-> τ+1 (что очевидно), но и вообще все действие SL(2,Z) перевыборами базиса:
τ-> (aτ+b)/(cτ+d),
где a,b,c,d целые и ad-bc=1.
Её можно строить разными способами, но я сначала просто поверю в то, что она есть, и скажу про пару её свойств.
В частности — можно в решётке выбрать положительно ориентированный базис, и поделить на первый его элемент; тогда решётка примет вид <1, τ>, где τ — точка из верхней полуплоскости {Im τ>0}. Соответственно, тогда нужно строить функцию j(τ) в верхней полуплоскости — но инвариантную относительно замены базиса. А это не только замена τ-> τ+1 (что очевидно), но и вообще все действие SL(2,Z) перевыборами базиса:
τ-> (aτ+b)/(cτ+d),
где a,b,c,d целые и ad-bc=1.
Но уж раз j(τ) инвариантна относительно замены τ->τ+1, то можно рассматривать j как функцию на факторе верхней полуплоскости по этому сдвигу. А это — проколотый диск с координатой q=exp(2πi*τ); проколотый, потому что чем больше мнимая часть τ, тем меньше модулю q, но нулевым он никогда не будет.
Так вот: если взять j-инвариант для решётки O(\sqrt{-d}), и в O(\sqrt{-d}) есть однозначное разложение на множители — то получающееся число (по нетривиальным причинам) в точности целое!
Но — функцию j(q) в координате q можно в окрестности q=0 (отвечающему стремящейся к бесконечности мнимой части τ — то есть очень "неравномерным", "вертикально-вытянутым" решёткам) раскладывать в ряд. И как оказывается, ряд для j(q) начинается с 1/q (чем более решётка неравномерная, тем больше инвариант) — а дальше уже идут неотрицательные степени:
j(q)=1/q + 744 + 196844*q +... .
Для решётки целых O(\sqrt{-d}) второй вектор это τ=-1/2 + i \sqrt{d}/2, и соответственно
q= exp(2πi τ) = exp(-πi - π\sqrt{d}) = - 1/ exp(π\sqrt{d}) —
как раз почти те числа, что нам нужны!
j(q)=1/q + 744 + 196844*q +... .
Для решётки целых O(\sqrt{-d}) второй вектор это τ=-1/2 + i \sqrt{d}/2, и соответственно
q= exp(2πi τ) = exp(-πi - π\sqrt{d}) = - 1/ exp(π\sqrt{d}) —
как раз почти те числа, что нам нужны!
И, соответственно, для каждого d=43, 67, 163 целое (отрицательное) число j(q) это огромная величина
1/q=-exp(π\sqrt{d}),
отличающаяся от нашей знаком, к которой добавляется 744, и ряд по положительным степеням q — которые, наоборот, уже очень маленькие. Вот отсюда и получаются
...743,9999...,
которые мы видим до и после запятой — и поэтому девяток у exp(π\sqrt{163}) больше, чем у exp(π\sqrt{67}).
1/q=-exp(π\sqrt{d}),
отличающаяся от нашей знаком, к которой добавляется 744, и ряд по положительным степеням q — которые, наоборот, уже очень маленькие. Вот отсюда и получаются
...743,9999...,
которые мы видим до и после запятой — и поэтому девяток у exp(π\sqrt{163}) больше, чем у exp(π\sqrt{67}).
Ещё один кадр из того же видео Борчердса: https://youtu.be/a9k_QmZbwX8?t=623 ; кстати — не так часто у фидлсовского медалиста (и не только — https://en.wikipedia.org/wiki/Richard_Borcherds ) есть свой канал на YouTube :)
Математические байки
Но — функцию j(q) в координате q можно в окрестности q=0 (отвечающему стремящейся к бесконечности мнимой части τ — то есть очень "неравномерным", "вертикально-вытянутым" решёткам) раскладывать в ряд. И как оказывается, ряд для j(q) начинается с 1/q (чем более…
Вообще-то говоря, рассказ выше немного "повисает в воздухе", потому что я продекларировал функцию — j-инвариант, которую совсем не построил (и потому про которую пока в принципе непонятно, как что-либо проверять). Поэтому давайте я про неё скажу пару слов.
Вот если у нас есть решётка Г на комплексной плоскости и целое число k, то можно попробовать посчитать сумму обратных k-ых степеней ненулевых элементов решётки. И обозначить эту сумму через G_k(Г).
При нечётном k мы получим ноль — просто всё сократится. При k=2 сумма не будет абсолютно сходящейся, так что давайте её просто не рассматривать. А вот при чётных k>2 получается величина, хорошо зависящая от решётки. Правда, не инвариантная при перемасштабировании:
G_k(λГ) = λ^{-k} G_k(Г).
Ну так и давайте возьмём G_4^3(Г) и G_6^2(Г). Оба при умножении решётки на λ будут умножаться на λ^{-12} — а значит, их отношение это инвариант!
Это ещё не j-инвариант, но j-инвариант от этого отличается всего лишь на дробно-линейное преобразование: например, мы хотим, чтобы инвариант стремился к бесконечности, когда решётка становится всё более вырожденной, и поэтому в знаменателе будет не чистое G_6^2 или G_4^3, а некоторая их линейная комбинация (и даже понятно, какая — когда τ убегает на бесконечность, G_4 стремится к удвоенному \zeta(4), а G_6 к удвоенному \zeta(6), ну и остаётся подобрать коэффициенты, чтобы знаменатель обратился в ноль).
Вот если у нас есть решётка Г на комплексной плоскости и целое число k, то можно попробовать посчитать сумму обратных k-ых степеней ненулевых элементов решётки. И обозначить эту сумму через G_k(Г).
При нечётном k мы получим ноль — просто всё сократится. При k=2 сумма не будет абсолютно сходящейся, так что давайте её просто не рассматривать. А вот при чётных k>2 получается величина, хорошо зависящая от решётки. Правда, не инвариантная при перемасштабировании:
G_k(λГ) = λ^{-k} G_k(Г).
Ну так и давайте возьмём G_4^3(Г) и G_6^2(Г). Оба при умножении решётки на λ будут умножаться на λ^{-12} — а значит, их отношение это инвариант!
Это ещё не j-инвариант, но j-инвариант от этого отличается всего лишь на дробно-линейное преобразование: например, мы хотим, чтобы инвариант стремился к бесконечности, когда решётка становится всё более вырожденной, и поэтому в знаменателе будет не чистое G_6^2 или G_4^3, а некоторая их линейная комбинация (и даже понятно, какая — когда τ убегает на бесконечность, G_4 стремится к удвоенному \zeta(4), а G_6 к удвоенному \zeta(6), ну и остаётся подобрать коэффициенты, чтобы знаменатель обратился в ноль).
Да, вот эти ряды из обратных k-ых степеней называются рядами Эйзенштейна (https://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein_series ) ; а ещё с ними иногда удобнее работать, сразу поделив на их предел в бесконечности (или в точке прокола q=0, если работать в q-координате) :
E_{2k}(Г) = G_{2k}(Г) / 2\zeta(2k).
E_{2k}(Г) = G_{2k}(Г) / 2\zeta(2k).
И вот теперь с j-инвариантом уже хотя бы в принципе можно работать — уже видно, из каких частей он собран. Вообще, есть очень хороший текст Грина, "The Ramanujan Constant", http://people.maths.ox.ac.uk/greenbj/papers/ramanujanconstant.pdf — как раз этому эффекту почти-целости и посвящённый.
И вот один кусочек оттуда — как раз про j-инвариант:
И вот один кусочек оттуда — как раз про j-инвариант:
Да, а текст Грина называется так, потому что именно так называется exp(π\sqrt{163}) (см., например, https://mathworld.wolfram.com/RamanujanConstant.html ).
Математические байки
Но — функцию j(q) в координате q можно в окрестности q=0 (отвечающему стремящейся к бесконечности мнимой части τ — то есть очень "неравномерным", "вертикально-вытянутым" решёткам) раскладывать в ряд. И как оказывается, ряд для j(q) начинается с 1/q (чем более…
А ещё j-инвариант оказывается связан с группой-Монстром, самой большой из спорадических (т.е. "не включённых в серии") простых групп. Например, наименьшая размерность, в которой Монстр умеет действовать нетривиальными линейными преобразованиями (размерность наименьшего нетривиального представления) — это 196883. Если сравнить с рядом для j-инварианта, то видно, что от коэффициента при q это отличается на 1. И опять-таки, "таких совпадений не бывает" — но если одно это совпадение кажется недостаточно убедительным, то есть ещё простое соотношение между следующей размерностью и коэффициентом при q^2 у j-инварианта. А ещё размерность представления — это след тождественного преобразования в ней, а можно посмотреть, какие следы будут у действий других элементов, и обнаружить там сходство с некоторыми аналогами j-инварианта...
Давайте я закончу этот рассказ ссылкой на посвящённое Monstrous Moonshine (более сложное!) видео Борчердса — https://youtu.be/5Mg25JK31wE?t=1433 — и покажу ещё один кадр из него.
И на этом эту нашу "прогулку", начавшуюся со скатерти Улама и на которой мы "прошли" через многочлен Эйлера n^2+n+41, константу Рамануджана exp(π\sqrt{163}), разложение на простые в кольце целых O(\sqrt{-163}), через j-инвариант, через ряды Эйзенштейна E_{2k}, и где возникли группа-Монстр и Monstrous Moonshine, — так вот, на этом нашу сегодняшнюю прогулку, кажется, можно завершить.
Математические байки
Так что буквальный ответ на вопрос, будет ли — нет, не будет, более того, как раз следующее число на диагонали (а я не случайно оборвал картинку, когда диагональ дошла до ещё простого P(40)=39*40+41=1601 🙂 ) это P(41)=41^2 — не простое. И кстати, следующее…
В прошлый раз мы прошли по одной тропинке, начинающейся с этого вопроса; а в этот раз давайте пройдём по другой, начинающейся со слов "простые числа" и "значения многочлена".
Не-постоянный многочлен одной переменной, как мы видели, не может принимать в целых точках только простые значения. То же самое правда для многочлена нескольких переменных — иначе можно просто выбрать какое-нибудь направление и рассмотреть P(n,n,n) или P(n,2n,3n), и т. д. — сведя эту невозможность к уже доказанной невозможности для многочлена одной переменной.
Ну или можно перенести одномерное доказательство: сказать, что если для многочлена P с целыми коэффициентами выполнено
P(n_1,...,n_k)=p,
то для любых a_1,...,a_k значение
P(n_1+a_1 p,...,n_k+ a_k p) делится на p,
и почти ни при каких a_j простым поэтому быть не может.
Но — если нас интересуют простые числа, то можно автоматически отбрасывать неположительные значения. Для многочленов одной переменной тогда уже можно получить больше одного простого значения: 17-10*n^2 принимает положительные значения 17 и 7 — и все положительные значения простые. Но вот все простые числа (и даже просто бесконечное их число) получить так, чтобы все положительные значения были простыми, у многочлена одной переменной не получится.
А что, если переменных много? Оказывается, тогда такой многочлен существует!
Не-постоянный многочлен одной переменной, как мы видели, не может принимать в целых точках только простые значения. То же самое правда для многочлена нескольких переменных — иначе можно просто выбрать какое-нибудь направление и рассмотреть P(n,n,n) или P(n,2n,3n), и т. д. — сведя эту невозможность к уже доказанной невозможности для многочлена одной переменной.
Ну или можно перенести одномерное доказательство: сказать, что если для многочлена P с целыми коэффициентами выполнено
P(n_1,...,n_k)=p,
то для любых a_1,...,a_k значение
P(n_1+a_1 p,...,n_k+ a_k p) делится на p,
и почти ни при каких a_j простым поэтому быть не может.
Но — если нас интересуют простые числа, то можно автоматически отбрасывать неположительные значения. Для многочленов одной переменной тогда уже можно получить больше одного простого значения: 17-10*n^2 принимает положительные значения 17 и 7 — и все положительные значения простые. Но вот все простые числа (и даже просто бесконечное их число) получить так, чтобы все положительные значения были простыми, у многочлена одной переменной не получится.
А что, если переменных много? Оказывается, тогда такой многочлен существует!
И вот на картинке выше явный пример такого многочлена — которому посвящена статья James P. Jones, Daihachiro Sato, Hideo Wada and Douglas Wiens, "Diophantine Representation of the Set of Prime Numbers", The American Mathematical Monthly, 83 :6 (1976), pp. 449-464 ; https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00029890.1976.11994142
На самом деле — можно задать вопрос, какие вообще множества представляются как множества положительных значений многочленов (от нескольких переменных) с целыми коэффициентами в целых точках.
(Такие множества называются диофантовыми .)
Понятно, что для любого многочлена P такое множество перечислимо: есть алгоритм, который рано или поздно напечатает все его элементы (быть может, не по порядку). Потому что мы просто будем обходить всю целочисленную решётку и проверять, положительное ли значение P в этой точке, а если да, то печатать.
(Такие множества называются диофантовыми .)
Понятно, что для любого многочлена P такое множество перечислимо: есть алгоритм, который рано или поздно напечатает все его элементы (быть может, не по порядку). Потому что мы просто будем обходить всю целочисленную решётку и проверять, положительное ли значение P в этой точке, а если да, то печатать.
Да — можно смотреть значения многочленов в точках с целыми координатами, а можно в точках с неотрицательными целыми. И хотя для конкретного многочлена это могут быть разные множества — на то, какие множества так вообще получается представить, этот выбор не влияет: если искомое множество X уже представлено как множество положительных значений P на Z^n, то оно же будет множеством положительных значений Q на (Z_+)^n, где
Q(a_1,b_1,...,a_n,b_n) = P(a_1-b_1,...,a_n-b_n).
И наоборот, если искомое множество X уже представлено как множество положительных значений P на (Z_+)^n, то оно же будет множеством положителных значений Q на Z^4n, где
Q(a_1,b_1,c_1,d_1,...,a_n,b_n,c_n,d_n) =
P(a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2,...,a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2).
Так что я дальше буду считать, что нас интересуют значения на Z_+^n.
Q(a_1,b_1,...,a_n,b_n) = P(a_1-b_1,...,a_n-b_n).
И наоборот, если искомое множество X уже представлено как множество положительных значений P на (Z_+)^n, то оно же будет множеством положителных значений Q на Z^4n, где
Q(a_1,b_1,c_1,d_1,...,a_n,b_n,c_n,d_n) =
P(a_1^2+b_1^2+c_1^2+d_1^2,...,a_n^2+b_n^2+c_n^2+d_n^2).
Так что я дальше буду считать, что нас интересуют значения на Z_+^n.