Так что на Луне есть целых пять точек, расстояние до которых сейчас люди умеют измерять с точностью до сантиметров и даже до миллиметров (см. https://iopscience.iop.org/article/10.1086/596748 ). И в той статье в "Природе" 2002 года, которую упоминают в Этюдах, есть карта их расположения на Луне (Image credit: Е.Ю.Алёшкина, "Лазерная локация Луны", https://priroda.ras.ru/pdf/2002-09.pdf ) —

Отдельная интересная история — это отражатели Лунохода-1. После 1971 года до него не могли "дозваться"; в той статье в "Природе" 2002 года, что я уже упоминал, предполагается, что они деградировали и перестали достаточно хорошо отражать:

Вот цитата из другой статьи 2002 года, https://ilrs.gsfc.nasa.gov/docs/williams_lw13.pdf ("неясно, то ли отражатели потеряли эффективность, то ли положение неточное") :

А в 2010 году — нашли: https://ucsdnews.ucsd.edu/archive/newsrel/science/04-26SovietReflector.asp !
И давайте я добавлю пару цитату оттуда:
==
“It turns out we were searching around a position miles from the rover,” said Murphy. “We could only search one football-field-sized region at a time. The recent images from LRO, together with laser altimetry of the surface, provided coordinates within 100 meters, and then we were in business and only had to wait for time on the telescope in good observing conditions.”
==
"The best signal we’ve seen from Lunokhod 2 in several years of effort is 750 return photons, but we got about 2,000 photons from Lunokhod 1 on our first try. It’s got a lot to say after almost 40 years of silence.”
(Кстати, интересно, что счёт идёт буквально на отдельные фотоны!)

И — понятно, зачем для этого нужны отражатели: до Луны далеко, так что "рассеянный во все стороны свет" просто был бы совершенно незаметен на этом расстоянии. (Впрочем, вспомнилось из физического юмора — https://what-if.xkcd.com/13/ )

Да — собственно про расстояние: расстояние от Земли до Луны это в среднем ~380.000 км. Можно, конечно, его так и запоминать — но гораздо более "говорящий" способ измерения это "чуть больше световой секунды". Так что экипажам, командовавшим Луноходами с Земли, было не очень просто — даже минимальная задержка управления была бы ~2.5 секунды (ибо сигнал оттуда + туда). "Была бы" — потому что изображение оттуда тоже приходило не постоянным потоком, а "один кадр в несколько секунд".

(Коллеги ругаются, что я про 2000 фотонов написал как про не очень большое количество — говоря, что как же так, что вот человеческий глаз в полной темноте десяток фотонов уже ловит. Так что давайте я добавлю, что в цитате там от Лунохода-2 — 750 фотонов это лучшее, что видели, а ещё чуть ниже по той же ссылке упоминают, что в полнолуние возвращается ещё в 10 раз меньше: "Near full moon, the strength of the returning light decreases by a factor of ten," he adds. "We need to understand what is causing this if we are contemplating putting additional scientific equipment on the moon. Finding the Lunokhod 1 reflector will add important clues to this study.")

Гугл сегодня порадовал дудлом ко дню рождения Бенуа Мандельброта:
https://www.google.com/doodles/benoit-mandelbrots-96th-birthday
Правда, увы, на заглавной Гугла он появляется, кажется, только во Франции — но по ссылке выше должно бы работать везде.

У меня осталась неоконченная история про скатерть Улама. Мы начали спираль с числа 41 вместо 1 — и увидели достаточно длинную диагональ из одних простых чисел.
Ну и я тогда закончил этот рассказ на вопросе — а будет ли эта диагональ из простых продолжаться дальше?

Для начала давайте поймём, что эта диагональ не может и дальше состоять только из простых чисел. А именно — не очень сложно понять, что n-е число на диагонали задаётся как P(n)=n^2-n+41.

Но ни один многочлен от n не может принимать только простые значения. Например, значения многочлена P(n) выше автоматически делится на 41, если n делится на 41.
И понятно, что такое рассуждение работает для любого другого многочлена, если у него свободный член по модулю не равен 1. А если равен, то можно сдвинуть начало отсчёта; если P это многочлен с целыми коэффициентами и P(a)=p — простое, то P(a+pk) делится на p при любом k.

Так что буквальный ответ на вопрос, будет ли — нет, не будет, более того, как раз следующее число на диагонали (а я не случайно оборвал картинку, когда диагональ дошла до ещё простого P(40)=39*40+41=1601 🙂 ) это P(41)=41^2 — не простое. И кстати, следующее за ним P(42)=41*43 — тоже.
Но это только начало истории, и не одной!

Вот для p=41 значения многочлена n^2-n+p, — числа, которые мы видим на диагонали из центра для начинающейся с числа p скатерти Улама, — оказались простыми для всех n=1,2,...,p-1 — оборвавшись только на том n=p, где не могли не оборваться. А ещё такие p бывают?

Да, а вот картинка с подписанными числами, продолженная чуть-чуть дальше.

Оказывается, что бывают — но только меньшие, p=41 из них наибольшее. Что, конечно, совершенно неочевидно. Вот картинка для p=17:

Как раз все числа от P(1)=17 до P(16)=15*16+17=257 — простые, а первыми составными оказываются P(17)=17^2 и P(18)=17*19.

Ещё таким будет p=11, это даже вполне несложно проверить вручную —

(И p=2, 3 и 5, кстати, но тут картинка получается не очень впечатляющей: для p=5 там всего 4 значения, для p=3 два, для p=2 вообще одно. Но я их тут всё-таки упомяну — потому что они укладываются в общий принцип.)

Так вот — а зачем вообще (кроме общей красоты скатерти Улама) я так внимательно смотрю на эти простые числа? Дело в том, что отсюда открывается дорога к однозначности разложения на простые в кольцах целых квадратичных расширений.

Классический вопрос о том, какие числа n представляются в виде суммы двух квадратов, связан с гауссовыми целыми числами — числами вида a+bi, составляющими кольцо Z[i].
Ибо (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2, и условие про то, что все простые вида 4k+3 в разложении n должны быть в чётной степени, как раз связано с тем, что они при переходе в Z[i] остаются простыми, а 2 и простые вида 4k+1 — нет, "разваливаются" (например, 2=(1+i)(1-i), 5=(1+2i)(1-2i)).
И при работе со всем этим ключевую роль играет то, что в гауссовых целых Z[i] есть алгоритм Евклида и, как следствие, однозначность разложения на их простые.

Так будет не всегда — и стандартный пример состоит в том, что если вместо i=\sqrt{-1} к целым числам добавить \sqrt{-5}, то однозначность разложения на множители нарушится:
(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5}) = 6 = 2*3.

Кстати, разложение на простые пытались применить и к теореме Ферма: пытаясь доказать, что у уравнения
x^p+y^p=z^p
нет нетривиальных решений — очень естественно добавить к целым числам корень p-й степени из 1,
\zeta=\exp(2πi/p),
разложить левую часть как произведение (x+\zeta^j y) по j=0,1...,p-1, и попробовать что-нибудь вытащить, сопоставляя разложения на множители в правой и в левой части.
И тут нужно начинать говорить слова "идеалы", ключевым именем тут будет Куммер, и я оставлю ссылку вот на этот короткий текст Кита Конрада —
https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/fltreg.pdf
(Получается так доказать не для всех простых — так что пришлось ждать ещё 150 лет до доказательства Уайлса — но для многих.)

[+Картинка выше: несколько первых абзацев из текста Конрада.]

Кстати, ещё можно спрашивать не какие числа представимы как a^2+b^2 (т.е. какие квадраты длин бывают для отрезков между точками квадратной решётки), а какие числа представимы как a^2+ab+b^2 (т.е. какие квадраты длин бывают для отрезков между точками треугольной решётки).

И тут на помощь придут числа Эйзенштейна Z[w], где w=\exp(2πi/3)= -1/2 + i sqrt{3}/2.
В которых тоже есть алгоритм Евклида — и, значит, однозначность разложения на (их) простые!