(соответствующая пара лемм)

б) Делимость чисел Фибоначчи. Во-первых, F_m делится на F_n тогда и только тогда, когда m делится на n. Что несложно увидеть, приведя числа Фибоначчи по модулю F_n: будет
номер — 0, 1, 2, ..., n-1, n, n+1,...
число — 0, 1, 1, ..., * , 0, * , ...,
и после n будет то же, что и после нуля, только умноженное на F_{n-1} (взаимно простое с F_n).
Но вот — и это ключевой шаг — если F_m делится не просто на F_n, а на F_n^2, то вот это равносильно тому, что номер m делится на nF_n.

И вот здесь начинает возникать экспоненциальный сдвиг: возникает связь между номерами и соответствующими числами Фибоначчи — а это как раз экспонента с основанием в золотое сечение.
И тут можно посмотреть на условие (4) из теоремы — как раз гарантирующее, что номер числа g делится на само число l.

в) И третья идея — нужно как-то суметь связать число Фибоначчи v с его номером 2u, причём в виде именно равенства. Для этого — для ещё одного, очень большого, числа m запускается ещё одна рекуррентная последовательность:
ψ_0=0, ψ_1=1, ψ_{k+1}= m ψ_k - ψ_{k-1}.
Точно так же, как для чисел Фибоначчи, свойство чисел (x,y) быть последовательной парой чисел оттуда проверяется полиномиально: необходимо и достаточно, чтобы
x^2 - m*xy + y^2 =1.
(Без условия целочисленности получилась бы гипербола — так что это описание того, как выглядят целочисленные точки на ней)

Так вот — давайте эту последовательность ψ_k приводить по какому-нибудь модулю, по которому m чему-нибудь хорошему равно. А именно: если m сравнимо с 2 по модулю N, то приведение по модулю N превращает соотношение на ψ_k в
ψ_{k+1}= 2 ψ_k - ψ_{k-1},
а это соотношение арифметической прогрессии. Поэтому тогда ψ_k сравнимо со своим номером k.

А если m сравнимо с 3 по модулю N, то соотношение превращается в
ψ_{k+1}= 3 ψ_k - ψ_{k-1},
а это как раз соотношение на числа Фибоначчи F_{2k} с чётными номерами! То есть ψ_k сравнимо с F_{2k} по модулю N.

И если попросить, чтобы сравнивалось одно и то же число x — то как раз получится связать его номер и соответствующее число Фибоначчи.

Условие (7) как раз говорит, что x — это одно из чисел последовательности ψ_k; условие (8) — что его номер k сравним с u; а условие (9) — что v сравнимо с F_{2k}. Так что если v=F_{2u}, то как раз можно взять x=ψ_{2u} — и остаётся достроить все остальные числа.

Остаётся аккуратно посмотреть, как из всех сравнимостей получается переход в другую сторону — но давайте я это замету под ковёр. И закончу рассказ добавлением пары ссылок:
*) вот тут — http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=3647 — видеозаписи курса Матиясевича в ЛШСМ-2011
*) а вот тут — статья в "Кванте" 1970 года (первый год, когда "Квант" начал выходить!) Ф. Варпаховского и А. Колмогорова (да-да!), озаглавленная "О решении десятой проблемы Гильберта" — заканчивающаяся как раз предъявлением (но без подробного разбора) этой системы:
https://kvant.ras.ru/1970/07/o_reshenii_desyatoj_problemy_g.htm

И один абзац из этой статьи —

Статья Jones-Sato-Wada-Wiens выйдет через 6 лет, в 1976 году.

Замечательный вопрос по теории вероятностей —
https://twitter.com/thienan496/status/1335534138959400961
Дублирую: подбросили 100 честных монет (не показывая результат). [Игроку] разрешается задать один вопрос вида "да/нет", и получить на него ответ. После этого у игрока про монеты одна за одной спрашивают "орёл или решка", и их открывают. За каждое верное угадывание он получает по доллару. Какой правильный вопрос надо задать, и какой стратегии следовать после того?

Осторожно, в комментариях спойлеры!

Сергей Миронович Натанзон (18.10.1948–07.12.2020)

Меня он учил на 1-м курсе НМУ...

картинка — пусть будет поводом поговорить немного про теорему Понселе