Так вот — давайте эту последовательность ψ_k приводить по какому-нибудь модулю, по которому m чему-нибудь хорошему равно. А именно: если m сравнимо с 2 по модулю N, то приведение по модулю N превращает соотношение на ψ_k в
ψ_{k+1}= 2 ψ_k - ψ_{k-1},
а это соотношение арифметической прогрессии. Поэтому тогда ψ_k сравнимо со своим номером k.

А если m сравнимо с 3 по модулю N, то соотношение превращается в
ψ_{k+1}= 3 ψ_k - ψ_{k-1},
а это как раз соотношение на числа Фибоначчи F_{2k} с чётными номерами! То есть ψ_k сравнимо с F_{2k} по модулю N.

И если попросить, чтобы сравнивалось одно и то же число x — то как раз получится связать его номер и соответствующее число Фибоначчи.

Условие (7) как раз говорит, что x — это одно из чисел последовательности ψ_k; условие (8) — что его номер k сравним с u; а условие (9) — что v сравнимо с F_{2k}. Так что если v=F_{2u}, то как раз можно взять x=ψ_{2u} — и остаётся достроить все остальные числа.

Остаётся аккуратно посмотреть, как из всех сравнимостей получается переход в другую сторону — но давайте я это замету под ковёр. И закончу рассказ добавлением пары ссылок:
*) вот тут — http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=3647 — видеозаписи курса Матиясевича в ЛШСМ-2011
*) а вот тут — статья в "Кванте" 1970 года (первый год, когда "Квант" начал выходить!) Ф. Варпаховского и А. Колмогорова (да-да!), озаглавленная "О решении десятой проблемы Гильберта" — заканчивающаяся как раз предъявлением (но без подробного разбора) этой системы:
https://kvant.ras.ru/1970/07/o_reshenii_desyatoj_problemy_g.htm

И один абзац из этой статьи —

Статья Jones-Sato-Wada-Wiens выйдет через 6 лет, в 1976 году.

Замечательный вопрос по теории вероятностей —
https://twitter.com/thienan496/status/1335534138959400961
Дублирую: подбросили 100 честных монет (не показывая результат). [Игроку] разрешается задать один вопрос вида "да/нет", и получить на него ответ. После этого у игрока про монеты одна за одной спрашивают "орёл или решка", и их открывают. За каждое верное угадывание он получает по доллару. Какой правильный вопрос надо задать, и какой стратегии следовать после того?

Осторожно, в комментариях спойлеры!

Сергей Миронович Натанзон (18.10.1948–07.12.2020)

Меня он учил на 1-м курсе НМУ...

картинка — пусть будет поводом поговорить немного про теорему Понселе

Во-первых, напомним про лекцию В.Ю.Протасова «Теорема Понселе — яркая и загадочная» ( https://news.1rj.ru/str/cme_channel/477 ) и его статью «Два века теоремы Понселе» в Кванте-2014 ( http://kvant.mccme.ru/pdf/2014/2014-56.pdf ).

Во-вторых, на менее элементарном уровне есть замечательное рассуждение, связывающая теорему Понселе с эллиптическими кривыми. Про это есть статья Гриффитса и Харриса ( http://publications.ias.edu/node/221 ). Но можно, например, посмотреть лекции Г.Б.Шабата на ЛШСМ (http://www.mathnet.ru/present9370 и далее).

В третьих, есть «бильярдная» точка зрения на теорему Понселе — можно начать с лекции 28 книги «Математический дивертисмент» Табачникова и Фукса (и, заодно, можно заглянуть в лекцию 29 про теорему Понселе и другие теоремы о замыкании)

Давайте я добавлю пару слов про теорему Понселе; кажется, формулировку её я знал ещё то ли со школы, то ли с младших курсов универа, — но вот доказательство с мерой (первое из упоминающихся выше) узнал как раз от Протасова, из его лекции на олимпиаде Шарыгина (сразу после ЛШСМ-2018).

Формулируется она очень просто — пусть у нас есть две окружности, одна внутри другой. Мы берём точку на внешней окружности и начинаем из неё строить "звёздочку", каждый раз проводя касательную к внутренней окружности и продлевая её до второго пересечения с внешней.

Теорема Понселе утверждает, что если такая цепочка замкнётся для какой-то одной начальной точки, то она замкнётся для любой другой (и через такое же число шагов). Более того, то же самое верно и если вместо окружностей будут и просто коники ( = кривые второго порядка).

Вот если бы окружности были концентрическими, то всё было бы понятно: чтобы "звёздочка" замкнулась, нужно, чтобы отсекаемый одним её звеном угол был бы соизмерим с 2π:

(И если он равен 2π*p/q, то "звёздочка" замыкается через q шагов, сделав p оборотов.)